MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oif Structured version   Unicode version

Theorem oif 7502
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oif  |-  F : dom  F --> A

Proof of Theorem oif
Dummy variables  u  t  v  x  h  j  w  z  f 
i  r  s  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . 5  |- recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
2 eqid 2438 . . . . 5  |-  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  =  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }
3 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )  =  ( h  e.  _V  |->  ( iota_ v  e.  {
w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e. 
{ w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) )
41, 2, 3ordtypecbv 7489 . . . 4  |- recs ( ( f  e.  _V  |->  (
iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )  = recs ( ( h  e.  _V  |->  (
iota_ v  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w } A. u  e.  { w  e.  A  |  A. j  e.  ran  h  j R w }  -.  u R v ) ) )
5 eqid 2438 . . . 4  |-  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e.  _V  |->  ( iota_ s  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e.  { y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }  =  { x  e.  On  |  E. t  e.  A  A. z  e.  (recs ( ( f  e. 
_V  |->  ( iota_ s  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y } A. r  e. 
{ y  e.  A  |  A. i  e.  ran  f  i R y }  -.  r R s ) ) )
" x ) z R t }
6 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
7 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R  We  A )
8 simpr 449 . . . 4  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  R Se  A )
94, 2, 3, 5, 6, 7, 8ordtypelem5 7494 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( Ord  dom  F  /\  F : dom  F --> A ) )
109simprd 451 . 2  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
11 f0 5630 . . 3  |-  (/) : (/) --> A
126oi0 7500 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  =  (/) )
1312dmeqd 5075 . . . . 5  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  dom  (/) )
14 dm0 5086 . . . . 5  |-  dom  (/)  =  (/)
1513, 14syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  dom  F  =  (/) )
1612, 15feq12d 5585 . . 3  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  ( F : dom  F --> A  <->  (/) : (/) --> A ) )
1711, 16mpbiri 226 . 2  |-  ( -.  ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F : dom  F --> A )
1810, 17pm2.61i 159 1  |-  F : dom  F --> A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 360    = wceq 1653   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   Se wse 4542    We wwe 4543   Ord word 4583   Oncon0 4584   dom cdm 4881   ran crn 4882   "cima 4884   -->wf 5453   iota_crio 6545  recscrecs 6635  OrdIsocoi 7481
This theorem is referenced by:  oismo  7512  cantnfle  7629  cantnflt  7630  cantnfres  7636  cantnfp1lem3  7639  cantnflem1b  7645  cantnflem1  7648  wemapwe  7657  cnfcomlem  7659  cnfcom  7660  cnfcom3lem  7663  cnfcom3  7664  hsmexlem1  8311  hsmexlem2  8312  fpwwe2lem8  8517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-riota 6552  df-recs 6636  df-oi 7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator