MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Structured version   Unicode version

Theorem oiiso 7496
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiiso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 4538 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  R Se  A )
2 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
32ordtype 7491 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
43ancoms 440 . 2  |-  ( ( R Se  A  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
51, 4sylan 458 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    _E cep 4484   Se wse 4531    We wwe 4532   dom cdm 4870    Isom wiso 5447  OrdIsocoi 7468
This theorem is referenced by:  oien  7497  wofib  7504  cantnfle  7616  cantnflt  7617  cantnflt2  7618  cantnfp1lem3  7626  cantnflem1b  7632  cantnflem1d  7634  cantnflem1  7635  wemapwe  7644  cnfcomlem  7646  cnfcom  7647  cnfcom3lem  7650  infxpenlem  7885  finnisoeu  7984  dfac12lem2  8014  cofsmo  8139  fpwwe2lem6  8500  fpwwe2lem7  8501  fpwwe2lem9  8503  pwfseqlem5  8528  fz1isolem  11700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-riota 6541  df-recs 6625  df-oi 7469
  Copyright terms: Public domain W3C validator