MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oiiso Unicode version

Theorem oiiso 7268
Description: The order isomorphism of the well-order  R on  A is an isomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oiiso  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )

Proof of Theorem oiiso
StepHypRef Expression
1 exse 4373 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  R Se  A )
2 oicl.1 . . . 4  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
32ordtype 7263 . . 3  |-  ( ( R  We  A  /\  R Se  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
43ancoms 439 . 2  |-  ( ( R Se  A  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
51, 4sylan 457 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  R  We  A )  ->  F  Isom  _E  ,  R  ( dom  F ,  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    _E cep 4319   Se wse 4366    We wwe 4367   dom cdm 4705    Isom wiso 5272  OrdIsocoi 7240
This theorem is referenced by:  oien  7269  wofib  7276  cantnfle  7388  cantnflt  7389  cantnflt2  7390  cantnfp1lem3  7398  cantnflem1b  7404  cantnflem1d  7406  cantnflem1  7407  wemapwe  7416  cnfcomlem  7418  cnfcom  7419  cnfcom3lem  7422  infxpenlem  7657  finnisoeu  7756  dfac12lem2  7786  cofsmo  7911  fpwwe2lem6  8273  fpwwe2lem7  8274  fpwwe2lem9  8276  pwfseqlem5  8301  fz1isolem  11415
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-oi 7241
  Copyright terms: Public domain W3C validator