MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Unicode version

Theorem oion 7338
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oion  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oicl 7331 . 2  |-  Ord  dom  F
31oiexg 7337 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
4 dmexg 5018 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
5 elong 4479 . . 3  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord 
dom  F ) )
63, 4, 53syl 18 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord  dom  F
) )
72, 6mpbiri 224 1  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1642    e. wcel 1710   _Vcvv 2864   Ord word 4470   Oncon0 4471   dom cdm 4768  OrdIsocoi 7311
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7344  wofib  7347  cantnfcl  7455  cantnflt2  7461  cantnflem1  7478  wemapwe  7487  cnfcom2  7492  cnfcom3lem  7493  cnfcom3  7494  finnisoeu  7827  dfac12lem2  7857  cofsmo  7982  pwfseqlem5  8372  fz1isolem  11489
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-riota 6388  df-recs 6472  df-oi 7312
  Copyright terms: Public domain W3C validator