MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Unicode version

Theorem oion 7508
Description: The order type of the well-order  R on  A is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
Assertion
Ref Expression
oion  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3  |-  F  = OrdIso
( R ,  A
)
21oicl 7501 . 2  |-  Ord  dom  F
31oiexg 7507 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  F  e.  _V )
4 dmexg 5133 . . 3  |-  ( F  e.  _V  ->  dom  F  e.  _V )
5 elong 4592 . . 3  |-  ( dom 
F  e.  _V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord 
dom  F ) )
63, 4, 53syl 19 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( dom  F  e.  On  <->  Ord  dom  F
) )
72, 6mpbiri 226 1  |-  ( A  e.  V  ->  dom  F  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    = wceq 1653    e. wcel 1726   _Vcvv 2958   Ord word 4583   Oncon0 4584   dom cdm 4881  OrdIsocoi 7481
This theorem is referenced by:  hartogslem1  7514  wofib  7517  cantnfcl  7625  cantnflt2  7631  cantnflem1  7648  wemapwe  7657  cnfcom2  7662  cnfcom3lem  7663  cnfcom3  7664  finnisoeu  7999  dfac12lem2  8029  cofsmo  8154  pwfseqlem5  8543  fz1isolem  11715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-oi 7482
  Copyright terms: Public domain W3C validator