Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj1 Unicode version

Theorem oldmj1 30033
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj1 22124 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmj1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
51, 2, 3, 4oldmm4 30032 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  .\/  Y ) )
65fveq2d 5545 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  (  ._|_  `  ( X  .\/  Y
) ) )
7 olop 30026 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
873ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
9 ollat 30025 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
1093ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
111, 4opoccl 30006 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
127, 11sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
13123adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
141, 4opoccl 30006 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
157, 14sylan 457 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
16153adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
171, 3latmcl 14173 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
1810, 13, 16, 17syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
191, 4opococ 30007 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y
) ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
208, 18, 19syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) ) )  =  ( ( 
._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y )
) )
216, 20eqtr3d 2330 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  ./\  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   OPcops 29984   OLcol 29986
This theorem is referenced by:  oldmj2  30034  oldmj3  30035  cmtbr2N  30065  omlfh1N  30070  omlfh3N  30071  cvrexch  30231  poldmj1N  30739  lhpmod2i2  30849  lhpmod6i1  30850  djajN  31949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-oposet 29988  df-ol 29990
  Copyright terms: Public domain W3C validator