Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj3 Structured version   Unicode version

Theorem oldmj3 29948
Description: De Morgan's law for join in an ortholattice. (chdmj3 23025 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)

Proof of Theorem oldmj3
StepHypRef Expression
1 olop 29939 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
213ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
3 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
4 oldmm1.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 oldmm1.o . . . . 5  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
64, 5opoccl 29919 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
72, 3, 6syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
8 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
104, 8, 9, 5oldmj1 29946 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
117, 10syld3an3 1229 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
124, 5opococ 29920 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
132, 3, 12syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1413oveq2d 6089 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( (  ._|_  `  X ) 
./\  Y ) )
1511, 14eqtrd 2467 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( (  ._|_  `  X
)  ./\  Y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   occoc 13529   joincjn 14393   meetcmee 14394   OPcops 29897   OLcol 29899
This theorem is referenced by:  latmassOLD  29954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-lat 14467  df-oposet 29901  df-ol 29903
  Copyright terms: Public domain W3C validator