Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oldmj4 Unicode version

Theorem oldmj4 29414
Description: DeMorgan's law for join in an ortholattice. (chdmj4 22111 analog.) (Contributed by NM, 7-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmj4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  ./\  Y )
)

Proof of Theorem oldmj4
StepHypRef Expression
1 olop 29404 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
2 oldmm1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 oldmm1.o . . . . . 6  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
42, 3opoccl 29384 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
51, 4sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
653adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
7 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
8 oldmm1.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
92, 7, 8, 3oldmj2 29412 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( X 
./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
106, 9syld3an3 1227 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
112, 3opococ 29385 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
121, 11sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
13123adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  =  Y )
1413oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )  =  ( X  ./\  Y
) )
1510, 14eqtrd 2315 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  =  ( X  ./\  Y )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   OPcops 29362   OLcol 29364
This theorem is referenced by:  olm11  29417  latmassOLD  29419  cmtcomlemN  29438  omlfh3N  29449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-oposet 29366  df-ol 29368
  Copyright terms: Public domain W3C validator