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Theorem oldmm1 30029
Description: De Morgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 22120 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmm1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2296 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 ollat 30025 . . 3  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 olop 30026 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
653ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
7 oldmm1.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
81, 7latmcl 14173 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
93, 8syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
10 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
111, 10opoccl 30006 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  e.  B )
131, 10opoccl 30006 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
145, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
15143adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
161, 10opoccl 30006 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
175, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
18173adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
19 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
201, 19latjcl 14172 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
214, 15, 18, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
221, 2, 19latlej1 14182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
234, 15, 18, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
24 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
251, 2, 10oplecon1b 30013 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X ) )
266, 24, 21, 25syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) X ) )
2723, 26mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X )
281, 2, 19latlej2 14183 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
294, 15, 18, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
30 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
311, 2, 10oplecon1b 30013 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y ) )
326, 30, 21, 31syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) Y ) )
3329, 32mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )
341, 10opoccl 30006 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
356, 21, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
361, 2, 7latlem12 14200 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
3827, 33, 37mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
391, 2, 10oplecon1b 30013 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
406, 21, 9, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  <->  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
4138, 40mpbid 201 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
421, 2, 7latmle1 14198 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
433, 42syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
441, 2, 10oplecon3b 30012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
456, 9, 24, 44syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
4643, 45mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
471, 2, 7latmle2 14199 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
483, 47syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
491, 2, 10oplecon3b 30012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
506, 9, 30, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
521, 2, 19latjle12 14184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y
) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5446, 51, 53mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 14179 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   occoc 13232   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167   OPcops 29984   OLcol 29986
This theorem is referenced by:  oldmm2  30030  oldmm3N  30031  cmtcomlemN  30060  cmtbr2N  30065  omlfh1N  30070  cvrexch  30231  lhpmod2i2  30849  lhpmod6i1  30850  doca2N  31938  djajN  31949
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-oposet 29988  df-ol 29990
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