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Theorem oldmm1 29407
Description: DeMorgan's law for meet in an ortholattice. (chdmm1 22104 analog.) (Contributed by NM, 6-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
oldmm1.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
oldmm1.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
oldmm1.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
oldmm1.o  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
Assertion
Ref Expression
oldmm1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )

Proof of Theorem oldmm1
StepHypRef Expression
1 oldmm1.b . 2  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 eqid 2283 . 2  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
3 ollat 29403 . . 3  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
433ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
5 olop 29404 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
653ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  K  e.  OP )
7 oldmm1.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
81, 7latmcl 14157 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
93, 8syl3an1 1215 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
10 oldmm1.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( oc `  K )
111, 10opoccl 29384 . . 3  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  -> 
(  ._|_  `  ( X  ./\ 
Y ) )  e.  B )
126, 9, 11syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  e.  B )
131, 10opoccl 29384 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
145, 13sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
15143adant3 975 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X )  e.  B )
161, 10opoccl 29384 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
175, 16sylan 457 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
18173adant2 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y )  e.  B )
19 oldmm1.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
201, 19latjcl 14156 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) )  e.  B
)
214, 15, 18, 20syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )
221, 2, 19latlej1 14166 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
234, 15, 18, 22syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
24 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  X  e.  B )
251, 2, 10oplecon1b 29391 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  X  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  X )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X ) )
266, 24, 21, 25syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) X ) )
2723, 26mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) X )
281, 2, 19latlej2 14167 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  (  ._|_  `  X )  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
294, 15, 18, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
30 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  Y  e.  B )
311, 2, 10oplecon1b 29391 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  Y  e.  B  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  Y )
( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y ) )
326, 30, 21, 31syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  Y
) ( le `  K ) ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
)  <->  (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) Y ) )
3329, 32mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) Y )
341, 10opoccl 29384 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )  e.  B )
356, 21, 34syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) )  e.  B
)
361, 2, 7latlem12 14184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) )  e.  B  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
374, 35, 24, 30, 36syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K
) X  /\  (  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) ( le `  K ) Y )  <-> 
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
) )
3827, 33, 37mpbi2and 887 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( ( 
._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
391, 2, 10oplecon1b 29391 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  e.  B )  ->  (
(  ._|_  `  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y )
) ) ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  <->  ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le
`  K ) ( (  ._|_  `  X ) 
.\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) )
406, 21, 9, 39syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  (
(  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y
) ) ) ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  <->  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
4138, 40mpbid 201 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) ( le `  K
) ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
421, 2, 7latmle1 14182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
433, 42syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
441, 2, 10oplecon3b 29390 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
456, 9, 24, 44syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X  <->  (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
4643, 45mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  X ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
471, 2, 7latmle2 14183 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
483, 47syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
491, 2, 10oplecon3b 29390 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OP  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (
( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
506, 9, 30, 49syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y  <->  (  ._|_  `  Y ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5148, 50mpbid 201 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) )
521, 2, 19latjle12 14168 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( (  ._|_  `  X
)  e.  B  /\  (  ._|_  `  Y )  e.  B  /\  (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  e.  B
) )  ->  (
( (  ._|_  `  X
) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y
) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
534, 15, 18, 12, 52syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( (  ._|_  `  X ) ( le
`  K ) ( 
._|_  `  ( X  ./\  Y ) )  /\  (  ._|_  `  Y ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )  <->  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K
) (  ._|_  `  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5446, 51, 53mpbi2and 887 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( (  ._|_  `  X
)  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) ( le `  K ) (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) ) )
551, 2, 4, 12, 21, 41, 54latasymd 14163 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  (  ._|_  `  ( X 
./\  Y ) )  =  ( (  ._|_  `  X )  .\/  (  ._|_  `  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   occoc 13216   joincjn 14078   meetcmee 14079   Latclat 14151   OPcops 29362   OLcol 29364
This theorem is referenced by:  oldmm2  29408  oldmm3N  29409  cmtcomlemN  29438  cmtbr2N  29443  omlfh1N  29448  cvrexch  29609  lhpmod2i2  30227  lhpmod6i1  30228  doca2N  31316  djajN  31327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-lat 14152  df-oposet 29366  df-ol 29368
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