Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Structured version   Unicode version

Theorem olj02 29961
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
olj0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
olj0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
olj02  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  X )

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 29948 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
21adantr 452 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3 olop 29949 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
4 olj0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 olj0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
64, 5op0cl 29919 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
73, 6syl 16 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  .0.  e.  B )
87adantr 452 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
9 simpr 448 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 olj0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
114, 10latjcom 14480 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  .0.  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X )  =  ( X  .\/  .0.  ) )
122, 8, 9, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  .0.  ) )
134, 10, 5olj01 29960 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .\/  .0.  )  =  X )
1412, 13eqtrd 2467 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   joincjn 14393   0.cp0 14458   Latclat 14466   OPcops 29907   OLcol 29909
This theorem is referenced by:  atle  30170  athgt  30190  pmapjat1  30587  atmod1i1m  30592  llnexchb2lem  30602  lhp2at0  30766  lhpelim  30771  4atex2-0aOLDN  30812  cdleme2  30962  cdleme15b  31009  cdleme20y  31036  cdleme22cN  31076  cdleme22d  31077  cdleme35d  31186  cdlemeg46frv  31259  cdlemg2fv2  31334  cdlemg2m  31338  cdlemg10bALTN  31370  cdlemh2  31550  cdlemh  31551  cdlemk9  31573  cdlemk9bN  31574  dia2dimlem1  31799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-p0 14460  df-lat 14467  df-oposet 29911  df-ol 29913
  Copyright terms: Public domain W3C validator