Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj02 Unicode version

Theorem olj02 29416
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
olj0.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
olj0.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
Assertion
Ref Expression
olj02  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  X )

Proof of Theorem olj02
StepHypRef Expression
1 ollat 29403 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  Lat )
21adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
3 olop 29404 . . . . 5  |-  ( K  e.  OL  ->  K  e.  OP )
4 olj0.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 olj0.z . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
64, 5op0cl 29374 . . . . 5  |-  ( K  e.  OP  ->  .0.  e.  B )
73, 6syl 15 . . . 4  |-  ( K  e.  OL  ->  .0.  e.  B )
87adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  .0.  e.  B )
9 simpr 447 . . 3  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
10 olj0.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
114, 10latjcom 14165 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  .0.  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X )  =  ( X  .\/  .0.  ) )
122, 8, 9, 11syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  ( X 
.\/  .0.  ) )
134, 10, 5olj01 29415 . 2  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  ( X  .\/  .0.  )  =  X )
1412, 13eqtrd 2315 1  |-  ( ( K  e.  OL  /\  X  e.  B )  ->  (  .0.  .\/  X
)  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   joincjn 14078   0.cp0 14143   Latclat 14151   OPcops 29362   OLcol 29364
This theorem is referenced by:  atle  29625  athgt  29645  pmapjat1  30042  atmod1i1m  30047  llnexchb2lem  30057  lhp2at0  30221  lhpelim  30226  4atex2-0aOLDN  30267  cdleme2  30417  cdleme15b  30464  cdleme20y  30491  cdleme22cN  30531  cdleme22d  30532  cdleme35d  30641  cdlemeg46frv  30714  cdlemg2fv2  30789  cdlemg2m  30793  cdlemg10bALTN  30825  cdlemh2  31005  cdlemh  31006  cdlemk9  31028  cdlemk9bN  31029  dia2dimlem1  31254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-p0 14145  df-lat 14152  df-oposet 29366  df-ol 29368
  Copyright terms: Public domain W3C validator