Theorem om0 4156

Description: Ordinal multiplication with zero. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
om0	|- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Proof of Theorem om0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 3022	. . 3 |- (/) e. On
2		omv 4151	. . 3 |- ((A e. On /\ (/) e. On) -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
3	1, 2	mpan2 696	. 2 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)))
4		0ex 2711	. . 3 |- (/) e. V
5	4	rdg0 3941	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` (/)) = (/)
6	3, 5	syl6eq 1523	1 |- (A e. On -> (A .o (/)) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  {copab 2666  Oncon0 2948  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  om0x 4158  oesuc 4166  omcl 4171  om0r 4174  om1 4176  om1r 4177  omwordri 4203  om00 4206  odi 4210  omass 4211  oen0 4213  nnm0 4224  nneob 4255

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain