Theorem om00el 4207

Description: The product of two nonzero ordinal numbers is nonzero.

Assertion

Ref	Expression
om00el	|- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Proof of Theorem om00el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om00 4206	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) = (/) <-> (A = (/) \/ B = (/))))
2	1	necon3abid 1599	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) =/= (/) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
3		omcl 4171	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) e. On)
4		on0eln0 3024	. . 3 |- ((A .o B) e. On -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
5	3, 4	syl 10	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> (A .o B) =/= (/)))
6		on0eln0 3024	. . . 4 |- (A e. On -> ((/) e. A <-> A =/= (/)))
7		on0eln0 3024	. . . 4 |- (B e. On -> ((/) e. B <-> B =/= (/)))
8	6, 7	bi2anan9 632	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> (A =/= (/) /\ B =/= (/))))
9		neanior 1639	. . 3 |- ((A =/= (/) /\ B =/= (/)) <-> -. (A = (/) \/ B = (/)))
10	8, 9	syl6bb 536	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (((/) e. A /\ (/) e. B) <-> -. (A = (/) \/ B = (/))))
11	2, 5, 10	3bitr4d 550	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((/) e. (A .o B) <-> ((/) e. A /\ (/) e. B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  (/)c0 2280  Oncon0 2948  (class class class)co 3963   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  odi 4210

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain