Theorem om0r 4174

Description: Ordinal multiplication with zero. Proposition 8.18(1) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om0r	|- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Proof of Theorem om0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . 3 |- (x = (/) -> ((/) .o x) = ((/) .o (/)))
2	1	eqeq1d 1483	. 2 |- (x = (/) -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o (/)) = (/)))
3		opreq2 3969	. . 3 |- (x = y -> ((/) .o x) = ((/) .o y))
4	3	eqeq1d 1483	. 2 |- (x = y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o y) = (/)))
5		opreq2 3969	. . 3 |- (x = suc y -> ((/) .o x) = ((/) .o suc y))
6	5	eqeq1d 1483	. 2 |- (x = suc y -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o suc y) = (/)))
7		opreq2 3969	. . 3 |- (x = A -> ((/) .o x) = ((/) .o A))
8	7	eqeq1d 1483	. 2 |- (x = A -> (((/) .o x) = (/) <-> ((/) .o A) = (/)))
9		0elon 3022	. . 3 |- (/) e. On
10		om0 4156	. . 3 |- ((/) e. On -> ((/) .o (/)) = (/))
11	9, 10	ax-mp 7	. 2 |- ((/) .o (/)) = (/)
12		omsuc 4165	. . . . 5 |- (((/) e. On /\ y e. On) -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
13	9, 12	mpan 695	. . . 4 |- (y e. On -> ((/) .o suc y) = (((/) .o y) +o (/)))
14		oa0 4155	. . . . . . 7 |- ((/) e. On -> ((/) +o (/)) = (/))
15	9, 14	ax-mp 7	. . . . . 6 |- ((/) +o (/)) = (/)
16	15	eqcomi 1479	. . . . 5 |- (/) = ((/) +o (/))
17	16	a1i 8	. . . 4 |- (y e. On -> (/) = ((/) +o (/)))
18	13, 17	eqeq12d 1489	. . 3 |- (y e. On -> (((/) .o suc y) = (/) <-> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/))))
19		opreq1 3968	. . 3 |- (((/) .o y) = (/) -> (((/) .o y) +o (/)) = ((/) +o (/)))
20	18, 19	syl5bir 210	. 2 |- (y e. On -> (((/) .o y) = (/) -> ((/) .o suc y) = (/)))
21		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
22		omlim 4168	. . . . . 6 |- (((/) e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
23	9, 22	mpan 695	. . . . 5 |- ((x e. V /\ Lim x) -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
24	21, 23	mpan 695	. . . 4 |- (Lim x -> ((/) .o x) = U_y e. x ((/) .o y))
25	24	eqeq1d 1483	. . 3 |- (Lim x -> (((/) .o x) = (/) <-> U_y e. x ((/) .o y) = (/)))
26		iuneq2 2578	. . . 4 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = U_y e. x (/))
27		iun0 2604	. . . 4 |- U_y e. x (/) = (/)
28	26, 27	syl6eq 1523	. . 3 |- (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> U_y e. x ((/) .o y) = (/))
29	25, 28	syl5bir 210	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x ((/) .o y) = (/) -> ((/) .o x) = (/)))
30	2, 4, 6, 8, 11, 20, 29	tfinds 3161	1 |- (A e. On -> ((/) .o A) = (/))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  (/)c0 2280  U_ciun 2566  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  suc csuc 2950  (class class class)co 3963   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  omord 4199  omwordi 4202  om00 4206  odi 4210  omass 4211  nnm0r 4228

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain