MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1bas Unicode version

Theorem om1bas 18545
Description: The base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1bas  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Distinct variable groups:    f, J    ph, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    B( f)    O( f)

Proof of Theorem om1bas
StepHypRef Expression
1 om1bas.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
2 om1bas.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
3 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } )
4 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( *p
`  J ) )
5 eqidd 2297 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ k o  II )  =  ( J  ^ k o  II ) )
6 om1bas.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 om1bas.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
82, 3, 4, 5, 6, 7om1val 18544 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } )
98fveq2d 5545 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
101, 9eqtrd 2328 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
11 ovex 5899 . . . 4  |-  ( II 
Cn  J )  e. 
_V
1211rabex 4181 . . 3  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  e.  _V
13 eqid 2296 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. }
1413topgrpbas 13312 . . 3  |-  ( { f  e.  ( II 
Cn  J )  |  ( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y ) }  e.  _V  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
1512, 14ax-mp 8 . 2  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } )
1610, 15syl6eqr 2346 1  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {crab 2560   _Vcvv 2801   {ctp 3655   <.cop 3656   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   ndxcnx 13161   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  TopSetcts 13230  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970    ^ k o cxko 17272   IIcii 18395   *pcpco 18514    Om 1 comi 18515
This theorem is referenced by:  om1elbas  18546  om1plusg  18548  om1tset  18549
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-plusg 13237  df-tset 13243  df-topon 16655  df-om1 18520
  Copyright terms: Public domain W3C validator