MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1bas Structured version   Unicode version

Theorem om1bas 19049
Description: The base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1bas  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Distinct variable groups:    f, J    ph, f    f, X    f, Y
Allowed substitution hints:    B( f)    O( f)

Proof of Theorem om1bas
StepHypRef Expression
1 om1bas.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
2 om1bas.o . . . . 5  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
3 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } )
4 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( *p `  J
)  =  ( *p
`  J ) )
5 eqidd 2437 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( J  ^ k o  II )  =  ( J  ^ k o  II ) )
6 om1bas.j . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
7 om1bas.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
82, 3, 4, 5, 6, 7om1val 19048 . . . 4  |-  ( ph  ->  O  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } )
98fveq2d 5725 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Base `  O
)  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
101, 9eqtrd 2468 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
11 ovex 6099 . . . 4  |-  ( II 
Cn  J )  e. 
_V
1211rabex 4347 . . 3  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  e.  _V
13 eqid 2436 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. }
1413topgrpbas 13610 . . 3  |-  ( { f  e.  ( II 
Cn  J )  |  ( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y ) }  e.  _V  ->  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `
 0 )  =  Y  /\  ( f `
 1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } ) )
1512, 14ax-mp 8 . 2  |-  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( *p `  J ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( J  ^ k o  II ) >. } )
1610, 15syl6eqr 2486 1  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2702   _Vcvv 2949   {ctp 3809   <.cop 3810   ` cfv 5447  (class class class)co 6074   0cc0 8983   1c1 8984   ndxcnx 13459   Basecbs 13462   +g cplusg 13522  TopSetcts 13528  TopOnctopon 16952    Cn ccn 17281    ^ k o cxko 17586   IIcii 18898   *pcpco 19018    Om 1 comi 19019
This theorem is referenced by:  om1elbas  19050  om1plusg  19052  om1tset  19053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-oadd 6721  df-er 6898  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-4 10053  df-5 10054  df-6 10055  df-7 10056  df-8 10057  df-9 10058  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-fz 11037  df-struct 13464  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-plusg 13535  df-tset 13541  df-topon 16959  df-om1 19024
  Copyright terms: Public domain W3C validator