MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1elbas Structured version   Unicode version

Theorem om1elbas 19057
Description: Elementhood in the base set of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1bas.o  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
om1bas.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
om1bas.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
om1bas.b  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
Assertion
Ref Expression
om1elbas  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )

Proof of Theorem om1elbas
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1bas.o . . . 4  |-  O  =  ( J  Om 1  Y )
2 om1bas.j . . . 4  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 om1bas.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  X )
4 om1bas.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
51, 2, 3, 4om1bas 19056 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  { f  e.  ( II  Cn  J )  |  ( ( f `  0
)  =  Y  /\  ( f `  1
)  =  Y ) } )
65eleq2d 2503 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) } ) )
7 fveq1 5727 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
87eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  0
)  =  Y  <->  ( F `  0 )  =  Y ) )
9 fveq1 5727 . . . . . 6  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  1 )  =  ( F ` 
1 ) )
109eqeq1d 2444 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  1
)  =  Y  <->  ( F `  1 )  =  Y ) )
118, 10anbi12d 692 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( f ` 
0 )  =  Y  /\  ( f ` 
1 )  =  Y )  <->  ( ( F `
 0 )  =  Y  /\  ( F `
 1 )  =  Y ) ) )
1211elrab 3092 . . 3  |-  ( F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) }  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
13 3anass 940 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y )  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
1412, 13bitr4i 244 . 2  |-  ( F  e.  { f  e.  ( II  Cn  J
)  |  ( ( f `  0 )  =  Y  /\  (
f `  1 )  =  Y ) }  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `
 1 )  =  Y ) )
156, 14syl6bb 253 1  |-  ( ph  ->  ( F  e.  B  <->  ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y  /\  ( F `  1 )  =  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2709   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   1c1 8991   Basecbs 13469  TopOnctopon 16959    Cn ccn 17288   IIcii 18905    Om 1 comi 19026
This theorem is referenced by:  om1addcl  19058  pi1blem  19064  pi1eluni  19067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-plusg 13542  df-tset 13548  df-topon 16966  df-om1 19031
  Copyright terms: Public domain W3C validator