Theorem om1r 4177

Description: Ordinal multiplication with 1. Proposition 8.18(2) of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
om1r	|- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Proof of Theorem om1r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3969	. . 3 |- (x = (/) -> (1o .o x) = (1o .o (/)))
2		id 59	. . 3 |- (x = (/) -> x = (/))
3	1, 2	eqeq12d 1489	. 2 |- (x = (/) -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o (/)) = (/)))
4		opreq2 3969	. . 3 |- (x = y -> (1o .o x) = (1o .o y))
5		id 59	. . 3 |- (x = y -> x = y)
6	4, 5	eqeq12d 1489	. 2 |- (x = y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o y) = y))
7		opreq2 3969	. . 3 |- (x = suc y -> (1o .o x) = (1o .o suc y))
8		id 59	. . 3 |- (x = suc y -> x = suc y)
9	7, 8	eqeq12d 1489	. 2 |- (x = suc y -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o suc y) = suc y))
10		opreq2 3969	. . 3 |- (x = A -> (1o .o x) = (1o .o A))
11		id 59	. . 3 |- (x = A -> x = A)
12	10, 11	eqeq12d 1489	. 2 |- (x = A -> ((1o .o x) = x <-> (1o .o A) = A))
13		1on 4138	. . 3 |- 1o e. On
14		om0 4156	. . 3 |- (1o e. On -> (1o .o (/)) = (/))
15	13, 14	ax-mp 7	. 2 |- (1o .o (/)) = (/)
16		omsuc 4165	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ y e. On) -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
17	13, 16	mpan 695	. . . . 5 |- (y e. On -> (1o .o suc y) = ((1o .o y) +o 1o))
18		opreq1 3968	. . . . 5 |- ((1o .o y) = y -> ((1o .o y) +o 1o) = (y +o 1o))
19	17, 18	sylan9eq 1527	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = (y +o 1o))
20		oa1suc 4164	. . . . 5 |- (y e. On -> (y +o 1o) = suc y)
21	20	adantr 389	. . . 4 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (y +o 1o) = suc y)
22	19, 21	eqtrd 1507	. . 3 |- ((y e. On /\ (1o .o y) = y) -> (1o .o suc y) = suc y)
23	22	ex 373	. 2 |- (y e. On -> ((1o .o y) = y -> (1o .o suc y) = suc y))
24		visset 1813	. . . . 5 |- x e. V
25		omlim 4168	. . . . . 6 |- ((1o e. On /\ (x e. V /\ Lim x)) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
26	13, 25	mpan 695	. . . . 5 |- ((x e. V /\ Lim x) -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
27	24, 26	mpan 695	. . . 4 |- (Lim x -> (1o .o x) = U_y e. x (1o .o y))
28		limuni 3029	. . . 4 |- (Lim x -> x = U.x)
29	27, 28	eqeq12d 1489	. . 3 |- (Lim x -> ((1o .o x) = x <-> U_y e. x (1o .o y) = U.x))
30		iuneq2 2578	. . . 4 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U_y e. x y)
31		uniiun 2601	. . . 4 |- U.x = U_y e. x y
32	30, 31	syl6eqr 1525	. . 3 |- (A.y e. x (1o .o y) = y -> U_y e. x (1o .o y) = U.x)
33	29, 32	syl5bir 210	. 2 |- (Lim x -> (A.y e. x (1o .o y) = y -> (1o .o x) = x))
34	3, 6, 9, 12, 15, 23, 33	tfinds 3161	1 |- (A e. On -> (1o .o A) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  A.wral 1645  Vcvv 1811  (/)c0 2280  U.cuni 2503  U_ciun 2566  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  suc csuc 2950  (class class class)co 3963  1oc1o 4128   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  oe1 4178  omword2 4205

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain