Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om1val Structured version   Unicode version

Theorem om1val 19057
 Description: The definition of the loop space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om1val.o
om1val.b
om1val.p
om1val.k
om1val.j TopOn
om1val.y
Assertion
Ref Expression
om1val TopSet
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem om1val
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om1val.o . 2
2 df-om1 19033 . . . 4 TopSet
32a1i 11 . . 3 TopSet
4 simprl 734 . . . . . . . 8
54oveq2d 6099 . . . . . . 7
6 simprr 735 . . . . . . . . 9
76eqeq2d 2449 . . . . . . . 8
86eqeq2d 2449 . . . . . . . 8
97, 8anbi12d 693 . . . . . . 7
105, 9rabeqbidv 2953 . . . . . 6
11 om1val.b . . . . . . 7
1211adantr 453 . . . . . 6
1310, 12eqtr4d 2473 . . . . 5
1413opeq2d 3993 . . . 4
154fveq2d 5734 . . . . . 6
16 om1val.p . . . . . . 7
1716adantr 453 . . . . . 6
1815, 17eqtr4d 2473 . . . . 5
1918opeq2d 3993 . . . 4
204oveq1d 6098 . . . . . 6
21 om1val.k . . . . . . 7
2221adantr 453 . . . . . 6
2320, 22eqtr4d 2473 . . . . 5
2423opeq2d 3993 . . . 4 TopSet TopSet
2514, 19, 24tpeq123d 3900 . . 3 TopSet TopSet
26 unieq 4026 . . . . 5
2726adantl 454 . . . 4
28 om1val.j . . . . . 6 TopOn
29 toponuni 16994 . . . . . 6 TopOn
3028, 29syl 16 . . . . 5
3130adantr 453 . . . 4
3227, 31eqtr4d 2473 . . 3
33 topontop 16993 . . . 4 TopOn
3428, 33syl 16 . . 3
35 om1val.y . . 3
36 tpex 4710 . . . 4 TopSet
3736a1i 11 . . 3 TopSet
383, 25, 32, 34, 35, 37ovmpt2dx 6202 . 2 TopSet
391, 38syl5eq 2482 1 TopSet
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  crab 2711  cvv 2958  ctp 3818  cop 3819  cuni 4017  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cc0 8992  c1 8993  cnx 13468  cbs 13471   cplusg 13531  TopSetcts 13537  ctop 16960  TopOnctopon 16961   ccn 17290   cxko 17595  cii 18907  cpco 19027   comi 19028 This theorem is referenced by:  om1bas  19058  om1plusg  19061  om1tset  19062 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-topon 16968  df-om1 19033
 Copyright terms: Public domain W3C validator