MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Unicode version

Theorem om2uzf1oi 11016
Description:  G (see om2uz0i 11010) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6447 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5338 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 200 . . . 4  |-  G  Fn  om
5 om2uz.1 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
65, 2om2uzrani 11015 . . . . 5  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
76eqimssi 3232 . . . 4  |-  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
8 df-f 5259 . . . 4  |-  ( G : om --> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G  Fn  om  /\  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
) )
94, 7, 8mpbir2an 886 . . 3  |-  G : om
--> ( ZZ>= `  C )
105, 2om2uzuzi 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
11 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1312zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
145, 2om2uzuzi 11012 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
15 eluzelz 10238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1716zred 10117 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  RR )
18 lttri3 8905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
1913, 17, 18syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
20 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) )  <->  ( -.  ( G `  y )  <  ( G `  z )  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y ) ) )
2119, 20syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <->  -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) ) ) )
22 nnord 4664 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
23 nnord 4664 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
24 ordtri3 4428 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2625con2bid 319 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  -.  y  =  z ) )
275, 2om2uzlti 11013 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  ->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
285, 2om2uzlti 11013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
2928ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3027, 29orim12d 811 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
3126, 30sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  y  =  z  ->  ( ( G `  y )  <  ( G `  z
)  \/  ( G `
 z )  < 
( G `  y
) ) ) )
3231con1d 116 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) )  ->  y  =  z ) )
3321, 32sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
3433rgen2a 2609 . . 3  |-  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z )
35 dff13 5783 . . 3  |-  ( G : om -1-1-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om --> ( ZZ>= `  C
)  /\  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
369, 34, 35mpbir2an 886 . 2  |-  G : om
-1-1-> ( ZZ>= `  C )
37 dff1o5 5481 . 2  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ran  G  =  ( ZZ>= `  C ) ) )
3836, 6, 37mpbir2an 886 1  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Ord word 4391   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   RRcr 8736   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  11017  uzrdglem  11020  uzrdgfni  11021  uzrdgsuci  11023  uzenom  11027  fzennn  11030  cardfz  11032  hashgf1o  11033  axdc4uzlem  11044  unbenlem  12955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator