MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzf1oi Unicode version

Theorem om2uzf1oi 11032
Description:  G (see om2uz0i 11026) is a one-to-one onto mapping. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzf1oi  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzf1oi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6463 . . . . 5  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om
2 om2uz.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
32fneq1i 5354 . . . . 5  |-  ( G  Fn  om  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )  |`  om )  Fn  om )
41, 3mpbir 200 . . . 4  |-  G  Fn  om
5 om2uz.1 . . . . . 6  |-  C  e.  ZZ
65, 2om2uzrani 11031 . . . . 5  |-  ran  G  =  ( ZZ>= `  C
)
76eqimssi 3245 . . . 4  |-  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
8 df-f 5275 . . . 4  |-  ( G : om --> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G  Fn  om  /\  ran  G  C_  ( ZZ>= `  C )
) )
94, 7, 8mpbir2an 886 . . 3  |-  G : om
--> ( ZZ>= `  C )
105, 2om2uzuzi 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
11 eluzelz 10254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1210, 11syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
1312zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
145, 2om2uzuzi 11028 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
15 eluzelz 10254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1614, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  ZZ )
1716zred 10133 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  z )  e.  RR )
18 lttri3 8921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G `  y
)  e.  RR  /\  ( G `  z )  e.  RR )  -> 
( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
1913, 17, 18syl2an 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <-> 
( -.  ( G `
 y )  < 
( G `  z
)  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
20 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) )  <->  ( -.  ( G `  y )  <  ( G `  z )  /\  -.  ( G `  z )  <  ( G `  y ) ) )
2119, 20syl6bbr 254 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  <->  -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z
)  <  ( G `  y ) ) ) )
22 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
23 nnord 4680 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
24 ordtri3 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2522, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
2625con2bid 319 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  -.  y  =  z ) )
275, 2om2uzlti 11029 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  ->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) )
285, 2om2uzlti 11029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
2928ancoms 439 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( z  e.  y  ->  ( G `  z )  <  ( G `  y )
) )
3027, 29orim12d 811 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( G `  y
)  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) ) ) )
3126, 30sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  y  =  z  ->  ( ( G `  y )  <  ( G `  z
)  \/  ( G `
 z )  < 
( G `  y
) ) ) )
3231con1d 116 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( -.  ( ( G `  y )  <  ( G `  z )  \/  ( G `  z )  <  ( G `  y
) )  ->  y  =  z ) )
3321, 32sylbid 206 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( G `  y )  =  ( G `  z )  ->  y  =  z ) )
3433rgen2a 2622 . . 3  |-  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z )
35 dff13 5799 . . 3  |-  ( G : om -1-1-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om --> ( ZZ>= `  C
)  /\  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( G `
 y )  =  ( G `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
369, 34, 35mpbir2an 886 . 2  |-  G : om
-1-1-> ( ZZ>= `  C )
37 dff1o5 5497 . 2  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  <->  ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ran  G  =  ( ZZ>= `  C ) ) )
3836, 6, 37mpbir2an 886 1  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   Ord word 4407   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  11033  uzrdglem  11036  uzrdgfni  11037  uzrdgsuci  11039  uzenom  11043  fzennn  11046  cardfz  11048  hashgf1o  11049  axdc4uzlem  11060  unbenlem  12971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
  Copyright terms: Public domain W3C validator