MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzisoi Unicode version

Theorem om2uzisoi 11017
Description:  G (see om2uz0i 11010) is an isomorphism from natural ordinals to upper integers. (Contributed by NM, 9-Oct-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzisoi  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzisoi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
31, 2om2uzf1oi 11016 . 2  |-  G : om
-1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
4 epel 4308 . . . 4  |-  ( y  _E  z  <->  y  e.  z )
51, 2om2uzlt2i 11014 . . . 4  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  e.  z  <-> 
( G `  y
)  <  ( G `  z ) ) )
64, 5syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z ) ) )
76rgen2a 2609 . 2  |-  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
)
8 df-isom 5264 . 2  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  <->  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  (
y  _E  z  <->  ( G `  y )  <  ( G `  z )
) ) )
93, 7, 8mpbir2an 886 1  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    _E cep 4303   omcom 4656    |` cres 4691   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  om2uzoi  11018  ltweuz  11024  fz1isolem  11399
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator