Theorem om2uzlt2 6299

Description: The mapping G (see om2uz0 6295) preserves order.

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)

Assertion

Ref	Expression
om2uzlt2	|- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> (G` A) < (G` B)))

Distinct variable group:   x,y,C

Proof of Theorem om2uzlt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . 3 |- C e. ZZ
2		om2uz.2	. . 3 |- G = (rec({<.x, y>. | y = (x + 1)}, C) |` om)
3	1, 2	om2uzlt 6298	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B -> (G` A) < (G` B)))
4	1, 2	om2uzlt 6298	. . . . . 6 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (B e. A -> (G` B) < (G` A)))
5		fveq2 3724	. . . . . . 7 |- (B = A -> (G` B) = (G` A))
6	5	a1i 8	. . . . . 6 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (B = A -> (G` B) = (G` A)))
7	4, 6	orim12d 565	. . . . 5 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((B e. A \/ B = A) -> ((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A))))
8	7	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((B e. A \/ B = A) -> ((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A))))
9		onsseleq 2999	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B (_ A <-> (B e. A \/ B = A)))
10		ontri1 2981	. . . . . . 7 |- ((B e. On /\ A e. On) -> (B (_ A <-> -. A e. B))
11	9, 10	bitr3d 530	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ A e. On) -> ((B e. A \/ B = A) <-> -. A e. B))
12		nnont 3138	. . . . . 6 |- (B e. om -> B e. On)
13		nnont 3138	. . . . . 6 |- (A e. om -> A e. On)
14	11, 12, 13	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B e. om /\ A e. om) -> ((B e. A \/ B = A) <-> -. A e. B))
15	14	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((B e. A \/ B = A) <-> -. A e. B))
16		leloet 5518	. . . . . . 7 |- (((G` B) e. RR /\ (G` A) e. RR) -> ((G` B) <_ (G` A) <-> ((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A))))
17		lenltt 5510	. . . . . . 7 |- (((G` B) e. RR /\ (G` A) e. RR) -> ((G` B) <_ (G` A) <-> -. (G` A) < (G` B)))
18	16, 17	bitr3d 530	. . . . . 6 |- (((G` B) e. RR /\ (G` A) e. RR) -> (((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A)) <-> -. (G` A) < (G` B)))
19	1, 2	om2uzuz 6297	. . . . . . 7 |- (B e. om -> (G` B) e. {z e. ZZ | C <_ z})
20		ssrab2 2131	. . . . . . . . 9 |- {z e. ZZ | C <_ z} (_ ZZ
21		zssre 6142	. . . . . . . . 9 |- ZZ (_ RR
22	20, 21	sstri 2073	. . . . . . . 8 |- {z e. ZZ | C <_ z} (_ RR
23	22	sseli 2065	. . . . . . 7 |- ((G` B) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` B) e. RR)
24	19, 23	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. om -> (G` B) e. RR)
25	1, 2	om2uzuz 6297	. . . . . . 7 |- (A e. om -> (G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z})
26	22	sseli 2065	. . . . . . 7 |- ((G` A) e. {z e. ZZ | C <_ z} -> (G` A) e. RR)
27	25, 26	syl 10	. . . . . 6 |- (A e. om -> (G` A) e. RR)
28	18, 24, 27	syl2an 454	. . . . 5 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A)) <-> -. (G` A) < (G` B)))
29	28	ancoms 436	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (((G` B) < (G` A) \/ (G` B) = (G` A)) <-> -. (G` A) < (G` B)))
30	8, 15, 29	3imtr3d 542	. . 3 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (-. A e. B -> -. (G` A) < (G` B)))
31	30	a3d 75	. 2 |- ((A e. om /\ B e. om) -> ((G` A) < (G` B) -> A e. B))
32	3, 31	impbid 516	1 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A e. B <-> (G` A) < (G` B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047   class class class wbr 2619  {copab 2666  Oncon0 2948  omcom 3131   |` cres 3172  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963  RRcr 5233  1c1 5235   + caddc 5237   <_ cle 5295  ZZcz 5298   < clt 5486

This theorem is referenced by:  unbenlem 7504

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-ltr 5170  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-lt 5247  df-sub 5356  df-neg 5358  df-pnf 5487  df-mnf 5488  df-xr 5489  df-ltxr 5490  df-le 5491  df-n 5925  df-n0 6100  df-z 6136

Copyright terms: Public domain