MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Structured version   Unicode version

Theorem om2uzlt2i 11281
Description: The mapping  G (see om2uz0i 11277) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
31, 2om2uzlti 11280 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
41, 2om2uzlti 11280 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
5 fveq2 5720 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) )
74, 6orim12d 812 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
87ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
9 nnon 4843 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
10 nnon 4843 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
11 onsseleq 4614 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  e.  A  \/  B  =  A )
) )
12 ontri1 4607 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  -.  A  e.  B ) )
1311, 12bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
149, 10, 13syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
151, 2om2uzuzi 11279 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
16 eluzelre 10487 . . . . 5  |-  ( ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  B )  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  RR )
181, 2om2uzuzi 11279 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 eluzelre 10487 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  RR )
21 leloe 9151 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  ( ( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
22 lenlt 9144 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  -.  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
2321, 22bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
2417, 20, 23syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
258, 14, 243imtr3d 259 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  B  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
263, 25impcon4bid 197 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   omcom 4837    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   reccrdg 6659   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983    < clt 9110    <_ cle 9111   ZZcz 10272   ZZ>=cuz 10478
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  11284  unbenlem  13266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479
  Copyright terms: Public domain W3C validator