MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzlt2i Unicode version

Theorem om2uzlt2i 11220
Description: The mapping  G (see om2uz0i 11216) preserves order. (Contributed by NM, 4-May-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzlt2i  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzlt2i
StepHypRef Expression
1 om2uz.1 . . 3  |-  C  e.  ZZ
2 om2uz.2 . . 3  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
31, 2om2uzlti 11219 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
41, 2om2uzlti 11219 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  e.  A  ->  ( G `  B
)  <  ( G `  A ) ) )
5 fveq2 5670 . . . . . 6  |-  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( B  =  A  ->  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) )
74, 6orim12d 812 . . . 4  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
87ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  ->  (
( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
9 nnon 4793 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  B  e.  On )
10 nnon 4793 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
11 onsseleq 4565 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  ( B  e.  A  \/  B  =  A )
) )
12 ontri1 4558 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( B  C_  A  <->  -.  A  e.  B ) )
1311, 12bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
149, 10, 13syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( B  e.  A  \/  B  =  A )  <->  -.  A  e.  B ) )
151, 2om2uzuzi 11218 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
16 eluzelre 10431 . . . . 5  |-  ( ( G `  B )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  B )  e.  RR )
1715, 16syl 16 . . . 4  |-  ( B  e.  om  ->  ( G `  B )  e.  RR )
181, 2om2uzuzi 11218 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
19 eluzelre 10431 . . . . 5  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  RR )
21 leloe 9096 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  ( ( G `  B
)  <  ( G `  A )  \/  ( G `  B )  =  ( G `  A ) ) ) )
22 lenlt 9089 . . . . 5  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( G `  B )  <_  ( G `  A )  <->  -.  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
2321, 22bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( ( G `  B
)  e.  RR  /\  ( G `  A )  e.  RR )  -> 
( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
2417, 20, 23syl2anr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( ( G `
 B )  < 
( G `  A
)  \/  ( G `
 B )  =  ( G `  A
) )  <->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
258, 14, 243imtr3d 259 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  A  e.  B  ->  -.  ( G `  A )  <  ( G `  B
) ) )
263, 25impcon4bid 197 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901    C_ wss 3265   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209   Oncon0 4524   omcom 4787    |` cres 4822   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   reccrdg 6605   RRcr 8924   1c1 8926    + caddc 8928    < clt 9055    <_ cle 9056   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422
This theorem is referenced by:  om2uzisoi  11223  unbenlem  13205
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-nn 9935  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423
  Copyright terms: Public domain W3C validator