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Theorem om2uzlti 11217
Description: Less-than relation for  G (see om2uz0i 11214). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzlti  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzlti
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  (/) ) )
2 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( G `
 z )  =  ( G `  (/) ) )
32breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 312 . . . 4  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) )  <->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) ) )
54imbi2d 308 . . 3  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  z ) ) )  <-> 
( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  (/) ) ) ) ) )
6 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
7 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  ( G `  z )  =  ( G `  y ) )
87breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
96, 8imbi12d 312 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) ) )
109imbi2d 308 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `
 A )  < 
( G `  y
) ) ) ) )
11 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( A  e.  z  <-> 
A  e.  suc  y
) )
12 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( G `  z
)  =  ( G `
 suc  y )
)
1312breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
1411, 13imbi12d 312 . . . 4  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
1514imbi2d 308 . . 3  |-  ( z  =  suc  y  -> 
( ( A  e. 
om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
16 eleq2 2448 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  B ) )
17 fveq2 5668 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  ( G `  z )  =  ( G `  B ) )
1817breq2d 4165 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  z )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) )
1916, 18imbi12d 312 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
)  <->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A )  <  ( G `  B )
) ) )
2019imbi2d 308 . . 3  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  z  ->  ( G `  A )  <  ( G `  z )
) )  <->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `
 A )  < 
( G `  B
) ) ) ) )
21 noel 3575 . . . . 5  |-  -.  A  e.  (/)
2221pm2.21i 125 . . . 4  |-  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) )
2322a1i 11 . . 3  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  (/)  ->  ( G `  A )  <  ( G `  (/) ) ) )
24 id 20 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )
25 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) )
2625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( A  =  y  ->  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) )
2724, 26orim12d 812 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  y  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  y ) )  -> 
( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
28 elsuc2g 4590 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  <->  ( A  e.  y  \/  A  =  y ) ) )
2928bicomd 193 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
3029adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  <->  A  e.  suc  y ) )
31 om2uz.1 . . . . . . . . . . 11  |-  C  e.  ZZ
32 om2uz.2 . . . . . . . . . . 11  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
3331, 32om2uzsuci 11215 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  suc  y )  =  ( ( G `
 y )  +  1 ) )
3433breq2d 4165 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( G `  A
)  <  ( G `  suc  y )  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
3534adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <  ( G `  suc  y )  <-> 
( G `  A
)  <  ( ( G `  y )  +  1 ) ) )
3631, 32om2uzuzi 11216 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
3731, 32om2uzuzi 11216 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
38 eluzelz 10428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
39 eluzelz 10428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
40 zleltp1 10258 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  y )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4138, 39, 40syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ( ZZ>= `  C )  /\  ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C )
)  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y
)  <->  ( G `  A )  <  (
( G `  y
)  +  1 ) ) )
4236, 37, 41syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( G `  A )  <  ( ( G `
 y )  +  1 ) ) )
4336, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ZZ )
4443zred 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  RR )
4537, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  ZZ )
4645zred 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  ( G `  y )  e.  RR )
47 leloe 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  RR  /\  ( G `  y )  e.  RR )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
4844, 46, 47syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  y )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  y ) ) ) )
4935, 42, 483bitr2rd 274 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( G `
 A )  < 
( G `  y
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  y
) )  <->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) )
5030, 49imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( ( A  e.  y  \/  A  =  y )  -> 
( ( G `  A )  <  ( G `  y )  \/  ( G `  A
)  =  ( G `
 y ) ) )  <->  ( A  e. 
suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5127, 50syl5ib 211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  y  e.  om )  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
)  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) )
5251expcom 425 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
)  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
5352a2d 24 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  (
( A  e.  om  ->  ( A  e.  y  ->  ( G `  A )  <  ( G `  y )
) )  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  suc  y  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  suc  y ) ) ) ) )
545, 10, 15, 20, 23, 53finds 4811 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  om  ->  ( A  e.  B  -> 
( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) ) )
5554impcom 420 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  ( G `  A
)  <  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2899   (/)c0 3571   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   suc csuc 4524   omcom 4785    |` cres 4820   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   reccrdg 6603   RRcr 8922   1c1 8924    + caddc 8926    < clt 9053    <_ cle 9054   ZZcz 10214   ZZ>=cuz 10420
This theorem is referenced by:  om2uzlt2i  11218  om2uzf1oi  11220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421
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