MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzoi Unicode version

Theorem om2uzoi 11215
Description: An alternative definition of  G in terms of df-oi 7405. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzoi  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzoi
StepHypRef Expression
1 ordom 4787 . . . 4  |-  Ord  om
2 om2uz.1 . . . . 5  |-  C  e.  ZZ
3 om2uz.2 . . . . 5  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
42, 3om2uzisoi 11214 . . . 4  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) )
51, 4pm3.2i 442 . . 3  |-  ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )
6 ordwe 4528 . . . . . 6  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
71, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  _E  We  om
8 isowe 6001 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  -> 
(  _E  We  om  <->  < 
We  ( ZZ>= `  C
) ) )
94, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _E  We  om  <->  <  We  ( ZZ>=
`  C ) )
107, 9mpbi 200 . . . 4  |-  <  We  ( ZZ>= `  C )
11 fvex 5675 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  C )  e.  _V
12 exse 4480 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  C )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  C ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  < Se  ( ZZ>=
`  C )
14 eqid 2380 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )
1514oieu 7434 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= `  C )  /\  < Se  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )  <->  ( om  =  dom OrdIso (  <  , 
( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) ) ) )
1610, 13, 15mp2an 654 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) )  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
) ) )
175, 16mpbi 200 . 2  |-  ( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
1817simpri 449 1  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2892    e. cmpt 4200    _E cep 4426   Se wse 4473    We wwe 4474   Ord word 4514   omcom 4778   dom cdm 4811    |` cres 4813   ` cfv 5387    Isom wiso 5388  (class class class)co 6013   reccrdg 6596  OrdIsocoi 7404   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  ltbwe  16453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-oi 7405  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator