MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzoi Unicode version

Theorem om2uzoi 11018
Description: An alternative definition of  G in terms of df-oi 7225. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzoi  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hint:    G( x)

Proof of Theorem om2uzoi
StepHypRef Expression
1 ordom 4665 . . . 4  |-  Ord  om
2 om2uz.1 . . . . 5  |-  C  e.  ZZ
3 om2uz.2 . . . . 5  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
42, 3om2uzisoi 11017 . . . 4  |-  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) )
51, 4pm3.2i 441 . . 3  |-  ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )
6 ordwe 4405 . . . . . 6  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
71, 6ax-mp 8 . . . . 5  |-  _E  We  om
8 isowe 5846 . . . . . 6  |-  ( G 
Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) )  -> 
(  _E  We  om  <->  < 
We  ( ZZ>= `  C
) ) )
94, 8ax-mp 8 . . . . 5  |-  (  _E  We  om  <->  <  We  ( ZZ>=
`  C ) )
107, 9mpbi 199 . . . 4  |-  <  We  ( ZZ>= `  C )
11 fvex 5539 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  C )  e.  _V
12 exse 4357 . . . . 5  |-  ( (
ZZ>= `  C )  e. 
_V  ->  < Se  ( ZZ>= `  C ) )
1311, 12ax-mp 8 . . . 4  |-  < Se  ( ZZ>=
`  C )
14 eqid 2283 . . . . 5  |- OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C
) )
1514oieu 7254 . . . 4  |-  ( (  <  We  ( ZZ>= `  C )  /\  < Se  (
ZZ>= `  C ) )  ->  ( ( Ord 
om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C
) ) )  <->  ( om  =  dom OrdIso (  <  , 
( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) ) ) )
1610, 13, 15mp2an 653 . . 3  |-  ( ( Ord  om  /\  G  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  C ) ) )  <-> 
( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) )  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
) ) )
175, 16mpbi 199 . 2  |-  ( om  =  dom OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C )
)  /\  G  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  C ) ) )
1817simpri 448 1  |-  G  = OrdIso
(  <  ,  ( ZZ>=
`  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Se wse 4350    We wwe 4351   Ord word 4391   omcom 4656   dom cdm 4689    |` cres 4691   ` cfv 5255    Isom wiso 5256  (class class class)co 5858   reccrdg 6422  OrdIsocoi 7224   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  ltbwe  16214
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-oi 7225  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator