Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzrdg Structured version   Unicode version

Theorem om2uzrdg 11288
 Description: A helper lemma for the value of a recursive definition generator on upper integers (typically either or ) with characteristic function and initial value . Normally is a function on the partition, and is a member of the partition. See also comment in om2uz0i 11279. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1
om2uz.2
uzrdg.1
uzrdg.2
Assertion
Ref Expression
om2uzrdg
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem om2uzrdg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5720 . . 3
2 fveq2 5720 . . . 4
31fveq2d 5724 . . . 4
42, 3opeq12d 3984 . . 3
51, 4eqeq12d 2449 . 2
6 fveq2 5720 . . 3
7 fveq2 5720 . . . 4
86fveq2d 5724 . . . 4
97, 8opeq12d 3984 . . 3
106, 9eqeq12d 2449 . 2
11 fveq2 5720 . . 3
12 fveq2 5720 . . . 4
1311fveq2d 5724 . . . 4
1412, 13opeq12d 3984 . . 3
1511, 14eqeq12d 2449 . 2
16 fveq2 5720 . . 3
17 fveq2 5720 . . . 4
1816fveq2d 5724 . . . 4
1917, 18opeq12d 3984 . . 3
2016, 19eqeq12d 2449 . 2
21 uzrdg.2 . . . . 5
2221fveq1i 5721 . . . 4
23 opex 4419 . . . . 5
24 fr0g 6685 . . . . 5
2523, 24ax-mp 8 . . . 4
2622, 25eqtri 2455 . . 3
27 om2uz.1 . . . . 5
28 om2uz.2 . . . . 5
2927, 28om2uz0i 11279 . . . 4
3026fveq2i 5723 . . . . 5
3127elexi 2957 . . . . . 6
32 uzrdg.1 . . . . . 6
3331, 32op2nd 6348 . . . . 5
3430, 33eqtri 2455 . . . 4
3529, 34opeq12i 3981 . . 3
3626, 35eqtr4i 2458 . 2
37 frsuc 6686 . . . . . 6
3821fveq1i 5721 . . . . . 6
3921fveq1i 5721 . . . . . . 7
4039fveq2i 5723 . . . . . 6
4137, 38, 403eqtr4g 2492 . . . . 5
42 fveq2 5720 . . . . . 6
43 df-ov 6076 . . . . . . 7
44 fvex 5734 . . . . . . . 8
45 fvex 5734 . . . . . . . 8
46 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
47 oveq1 6080 . . . . . . . . . 10
4846, 47opeq12d 3984 . . . . . . . . 9
49 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10
5049opeq2d 3983 . . . . . . . . 9
51 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11
52 oveq1 6080 . . . . . . . . . . 11
5351, 52opeq12d 3984 . . . . . . . . . 10
54 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11
5554opeq2d 3983 . . . . . . . . . 10
5653, 55cbvmpt2v 6144 . . . . . . . . 9
57 opex 4419 . . . . . . . . 9
5848, 50, 56, 57ovmpt2 6201 . . . . . . . 8
5944, 45, 58mp2an 654 . . . . . . 7
6043, 59eqtr3i 2457 . . . . . 6
6142, 60syl6eq 2483 . . . . 5
6241, 61sylan9eq 2487 . . . 4
6327, 28om2uzsuci 11280 . . . . . 6
6463adantr 452 . . . . 5
6562fveq2d 5724 . . . . . 6
66 ovex 6098 . . . . . . 7
67 ovex 6098 . . . . . . 7
6866, 67op2nd 6348 . . . . . 6
6965, 68syl6eq 2483 . . . . 5
7064, 69opeq12d 3984 . . . 4
7162, 70eqtr4d 2470 . . 3
7271ex 424 . 2
735, 10, 15, 20, 36, 72finds 4863 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cvv 2948  c0 3620  cop 3809   cmpt 4258   csuc 4575  com 4837   cres 4872  cfv 5446  (class class class)co 6073   cmpt2 6075  c2nd 6340  crdg 6659  c1 8983   caddc 8985  cz 10274 This theorem is referenced by:  uzrdglem  11289  uzrdgfni  11290  uzrdgsuci  11292 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660
 Copyright terms: Public domain W3C validator