MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzuzi Structured version   Unicode version

Theorem om2uzuzi 11289
Description: The value  G (see om2uz0i 11287) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzuzi  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzuzi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
21eleq1d 2502 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
3 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
43eleq1d 2502 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
5 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
65eleq1d 2502 . 2  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
7 fveq2 5728 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
87eleq1d 2502 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
9 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
10 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
119, 10om2uz0i 11287 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  C
12 uzid 10500 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
139, 12ax-mp 8 . . 3  |-  C  e.  ( ZZ>= `  C )
1411, 13eqeltri 2506 . 2  |-  ( G `
 (/) )  e.  (
ZZ>= `  C )
15 peano2uz 10530 . . 3  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
169, 10om2uzsuci 11288 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
1716eleq1d 2502 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1815, 17syl5ibr 213 . 2  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
192, 4, 6, 8, 14, 18finds 4871 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956   (/)c0 3628    e. cmpt 4266   suc csuc 4583   omcom 4845    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   1c1 8991    + caddc 8993   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  om2uzlti  11290  om2uzlt2i  11291  om2uzrani  11292  om2uzf1oi  11293  uzrdgfni  11298  uzrdgxfr  11306  unbenlem  13276
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator