MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  om2uzuzi Unicode version

Theorem om2uzuzi 11244
Description: The value  G (see om2uz0i 11242) at an ordinal natural number is in the upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
om2uz.1  |-  C  e.  ZZ
om2uz.2  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
Assertion
Ref Expression
om2uzuzi  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Distinct variable group:    x, C
Allowed substitution hints:    A( x)    G( x)

Proof of Theorem om2uzuzi
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5687 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  (/) ) )
21eleq1d 2470 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( G `  y )  e.  ( ZZ>= `  C
)  <->  ( G `  (/) )  e.  ( ZZ>= `  C ) ) )
3 fveq2 5687 . . 3  |-  ( y  =  z  ->  ( G `  y )  =  ( G `  z ) )
43eleq1d 2470 . 2  |-  ( y  =  z  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  z )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
5 fveq2 5687 . . 3  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( G `  y
)  =  ( G `
 suc  z )
)
65eleq1d 2470 . 2  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( ( G `  y )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
7 fveq2 5687 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( G `  y )  =  ( G `  A ) )
87eleq1d 2470 . 2  |-  ( y  =  A  ->  (
( G `  y
)  e.  ( ZZ>= `  C )  <->  ( G `  A )  e.  (
ZZ>= `  C ) ) )
9 om2uz.1 . . . 4  |-  C  e.  ZZ
10 om2uz.2 . . . 4  |-  G  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  C )  |`  om )
119, 10om2uz0i 11242 . . 3  |-  ( G `
 (/) )  =  C
12 uzid 10456 . . . 4  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  ( ZZ>= `  C )
)
139, 12ax-mp 8 . . 3  |-  C  e.  ( ZZ>= `  C )
1411, 13eqeltri 2474 . 2  |-  ( G `
 (/) )  e.  (
ZZ>= `  C )
15 peano2uz 10486 . . 3  |-  ( ( G `  z )  e.  ( ZZ>= `  C
)  ->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
169, 10om2uzsuci 11243 . . . 4  |-  ( z  e.  om  ->  ( G `  suc  z )  =  ( ( G `
 z )  +  1 ) )
1716eleq1d 2470 . . 3  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  suc  z )  e.  (
ZZ>= `  C )  <->  ( ( G `  z )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  C )
) )
1815, 17syl5ibr 213 . 2  |-  ( z  e.  om  ->  (
( G `  z
)  e.  ( ZZ>= `  C )  ->  ( G `  suc  z )  e.  ( ZZ>= `  C
) ) )
192, 4, 6, 8, 14, 18finds 4830 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( G `  A )  e.  ( ZZ>= `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588    e. cmpt 4226   suc csuc 4543   omcom 4804    |` cres 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   reccrdg 6626   1c1 8947    + caddc 8949   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444
This theorem is referenced by:  om2uzlti  11245  om2uzlt2i  11246  om2uzrani  11247  om2uzf1oi  11248  uzrdgfni  11253  uzrdgxfr  11261  unbenlem  13231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445
  Copyright terms: Public domain W3C validator