MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omabslem Unicode version

Theorem omabslem 6644
Description: Lemma for omabs 6645. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
omabslem  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )

Proof of Theorem omabslem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnon 4662 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  A  e.  On )
2 limom 4671 . . . . . . 7  |-  Lim  om
32jctr 526 . . . . . 6  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )
4 omlim 6532 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( om  e.  On  /\  Lim  om ) )  -> 
( A  .o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  .o  x ) )
51, 3, 4syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  .o  om )  =  U_ x  e. 
om  ( A  .o  x ) )
6 ordom 4665 . . . . . . . . 9  |-  Ord  om
7 nnmcl 6610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  .o  x
)  e.  om )
8 ordelss 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  om  /\  ( A  .o  x )  e. 
om )  ->  ( A  .o  x )  C_  om )
96, 7, 8sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  om  /\  x  e.  om )  ->  ( A  .o  x
)  C_  om )
109ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
11 iunss 3943 . . . . . . 7  |-  ( U_ x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om  <->  A. x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
1210, 11sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( A  e.  om  ->  U_ x  e.  om  ( A  .o  x )  C_  om )
1312adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  ->  U_ x  e.  om  ( A  .o  x
)  C_  om )
145, 13eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  om  e.  On )  -> 
( A  .o  om )  C_  om )
1514ancoms 439 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  om )  C_  om )
16153adant3 975 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  C_  om )
17 omword2 6572 . . . 4  |-  ( ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
18173impa 1146 . . 3  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On  /\  (/)  e.  A
)  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
191, 18syl3an2 1216 . 2  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  om  C_  ( A  .o  om ) )
2016, 19eqssd 3196 1  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  om  /\  (/)  e.  A
)  ->  ( A  .o  om )  =  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Ord word 4391   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   omcom 4656  (class class class)co 5858    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  omabs  6645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator