MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omcl Unicode version

Theorem omcl 6535
Description: Closure law for ordinal multiplication. Proposition 8.16 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-Aug-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
omcl  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )

Proof of Theorem omcl
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  (/) ) )
21eleq1d 2349 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( A  .o  x )  e.  On  <->  ( A  .o  (/) )  e.  On ) )
3 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  y
) )
43eleq1d 2349 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  .o  x
)  e.  On  <->  ( A  .o  y )  e.  On ) )
5 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( A  .o  x
)  =  ( A  .o  suc  y ) )
65eleq1d 2349 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( A  .o  x )  e.  On  <->  ( A  .o  suc  y
)  e.  On ) )
7 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  .o  x )  =  ( A  .o  B
) )
87eleq1d 2349 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( A  .o  x
)  e.  On  <->  ( A  .o  B )  e.  On ) )
9 om0 6516 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  =  (/) )
10 0elon 4445 . . . 4  |-  (/)  e.  On
119, 10syl6eqel 2371 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  (/) )  e.  On )
12 oacl 6534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .o  y
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  On )
1312expcom 424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  (
( A  .o  y
)  e.  On  ->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  On ) )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  On  ->  ( ( A  .o  y )  +o  A
)  e.  On ) )
15 omsuc 6525 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  y )  =  ( ( A  .o  y
)  +o  A ) )
1615eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  suc  y )  e.  On  <->  ( ( A  .o  y
)  +o  A )  e.  On ) )
1714, 16sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( ( A  .o  y )  e.  On  ->  ( A  .o  suc  y )  e.  On ) )
1817expcom 424 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( ( A  .o  y
)  e.  On  ->  ( A  .o  suc  y
)  e.  On ) ) )
19 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
20 iunon 6355 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  _V  /\  A. y  e.  x  ( A  .o  y )  e.  On )  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y
)  e.  On )
2119, 20mpan 651 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  e.  On  ->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y )  e.  On )
22 omlim 6532 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( x  e.  _V  /\ 
Lim  x ) )  ->  ( A  .o  x )  =  U_ y  e.  x  ( A  .o  y ) )
2319, 22mpanr1 664 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A  .o  x )  = 
U_ y  e.  x  ( A  .o  y
) )
2423eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  (
( A  .o  x
)  e.  On  <->  U_ y  e.  x  ( A  .o  y )  e.  On ) )
2521, 24syl5ibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y
)  e.  On  ->  ( A  .o  x )  e.  On ) )
2625expcom 424 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( A  .o  y )  e.  On  ->  ( A  .o  x )  e.  On ) ) )
272, 4, 6, 8, 11, 18, 26tfinds3 4655 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  On  ->  ( A  .o  B )  e.  On ) )
2827impcom 419 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   U_ciun 3905   Oncon0 4392   Lim wlim 4393   suc csuc 4394  (class class class)co 5858    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  oecl  6536  omordi  6564  omord2  6565  omcan  6567  omword  6568  omwordri  6570  om00  6573  om00el  6574  omlimcl  6576  odi  6577  omass  6578  oneo  6579  omeulem1  6580  omeulem2  6581  omopth2  6582  oeoelem  6596  oeoe  6597  oeeui  6600  oaabs2  6643  omxpenlem  6963  omxpen  6964  cantnfle  7372  cantnflt  7373  cantnflem1d  7390  cantnflem1  7391  cantnflem3  7393  cantnflem4  7394  cnfcomlem  7402  xpnum  7584  infxpenc  7645  dfac12lem2  7770
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator