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Theorem omf1o 7140
Description: Construct an explicit bijection from  A  .o  B to  B  .o  A. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omf1o.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
omf1o.2  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
Assertion
Ref Expression
omf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem omf1o
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  =  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
21omxpenlem 7138 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
32ancoms 440 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
4 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } )
54xpcomf1o 7126 . . . 4  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B
)
6 f1oco 5631 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
73, 5, 6sylancl 644 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
8 omf1o.2 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
94, 1xpcomco 7127 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
108, 9eqtr4i 2403 . . . 4  |-  G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) )
11 f1oeq1 5598 . . . 4  |-  ( G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) )  -> 
( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  <-> 
( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . 3  |-  ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A
)  <->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
137, 12sylibr 204 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
14 omf1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
1514omxpenlem 7138 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
16 f1ocnv 5620 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A
) )
1715, 16syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )
18 f1oco 5631 . 2  |-  ( ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
1913, 17, 18syl2anc 643 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {csn 3750   U.cuni 3950    e. cmpt 4200   Oncon0 4515    X. cxp 4809   `'ccnv 4810    o. ccom 4815   -1-1-onto->wf1o 5386  (class class class)co 6013    e. cmpt2 6015    +o coa 6650    .o comu 6651
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7587  infxpenc  7825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-omul 6658
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