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Theorem omf1o 6965
Description: Construct an explicit bijection from  A  .o  B to  B  .o  A. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omf1o.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
omf1o.2  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
Assertion
Ref Expression
omf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem omf1o
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  =  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
21omxpenlem 6963 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
32ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
4 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } )
54xpcomf1o 6951 . . . 4  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B
)
6 f1oco 5496 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
73, 5, 6sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
8 omf1o.2 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
94, 1xpcomco 6952 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
108, 9eqtr4i 2306 . . . 4  |-  G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) )
11 f1oeq1 5463 . . . 4  |-  ( G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) )  -> 
( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  <-> 
( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . 3  |-  ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A
)  <->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
137, 12sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
14 omf1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
1514omxpenlem 6963 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
16 f1ocnv 5485 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A
) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )
18 f1oco 5496 . 2  |-  ( ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
1913, 17, 18syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {csn 3640   U.cuni 3827    e. cmpt 4077   Oncon0 4392    X. cxp 4687   `'ccnv 4688    o. ccom 4693   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7407  infxpenc  7645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484
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