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Theorem omf1o 6981
Description: Construct an explicit bijection from  A  .o  B to  B  .o  A. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omf1o.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
omf1o.2  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
Assertion
Ref Expression
omf1o  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem omf1o
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  =  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
21omxpenlem 6979 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
32ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
4 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } )  =  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } )
54xpcomf1o 6967 . . . 4  |-  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B
)
6 f1oco 5512 . . . 4  |-  ( ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) ) : ( A  X.  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  X.  B ) )  ->  ( (
y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
73, 5, 6sylancl 643 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
8 omf1o.2 . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x
) )
94, 1xpcomco 6968 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y
)  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A )  |->  U. `' { z } ) )  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )
108, 9eqtr4i 2319 . . . 4  |-  G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) )
11 f1oeq1 5479 . . . 4  |-  ( G  =  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) )  -> 
( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  <-> 
( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A ) 
|->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) ) )
1210, 11ax-mp 8 . . 3  |-  ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A
)  <->  ( ( y  e.  A ,  x  e.  B  |->  ( ( B  .o  y )  +o  x ) )  o.  ( z  e.  ( B  X.  A
)  |->  U. `' { z } ) ) : ( B  X.  A
)
-1-1-onto-> ( B  .o  A
) )
137, 12sylibr 203 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
14 omf1o.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
1514omxpenlem 6979 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
16 f1ocnv 5501 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A
) )
1715, 16syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )
18 f1oco 5512 . 2  |-  ( ( G : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( B  .o  A )  /\  `' F : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  X.  A ) )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
1913, 17, 18syl2anc 642 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( G  o.  `' F ) : ( A  .o  B ) -1-1-onto-> ( B  .o  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {csn 3653   U.cuni 3843    e. cmpt 4093   Oncon0 4408    X. cxp 4703   `'ccnv 4704    o. ccom 4709   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874    e. cmpt2 5876    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  cnfcom3  7423  infxpenc  7661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500
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