MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omina Unicode version

Theorem omina 8526
Description:  om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow  om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for  om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
omina  |-  om  e.  Inacc

Proof of Theorem omina
StepHypRef Expression
1 peano1 4827 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 ne0i 3598 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  om  =/=  (/)
4 cfom 8104 . 2  |-  ( cf ` 
om )  =  om
5 nnfi 7262 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
6 pwfi 7364 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
75, 6sylib 189 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ~P x  e.  Fin )
8 isfinite 7567 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  Fin  <->  ~P x  ~<  om )
97, 8sylib 189 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ~P x  ~<  om )
109rgen 2735 . 2  |-  A. x  e.  om  ~P x  ~<  om
11 elina 8522 . 2  |-  ( om  e.  Inacc 
<->  ( om  =/=  (/)  /\  ( cf `  om )  =  om  /\  A. x  e.  om  ~P x  ~<  om ) )
123, 4, 10, 11mpbir3an 1136 1  |-  om  e.  Inacc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   (/)c0 3592   ~Pcpw 3763   class class class wbr 4176   omcom 4808   ` cfv 5417    ~< csdm 7071   Fincfn 7072   cfccf 7784   Inacccina 8518
This theorem is referenced by:  r1omALT  8611  r1omtsk  8614
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-card 7786  df-cf 7788  df-ina 8520
  Copyright terms: Public domain W3C validator