MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omina Unicode version

Theorem omina 8403
Description:  om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow  om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for  om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
omina  |-  om  e.  Inacc

Proof of Theorem omina
StepHypRef Expression
1 peano1 4757 . . 3  |-  (/)  e.  om
2 ne0i 3537 . . 3  |-  ( (/)  e.  om  ->  om  =/=  (/) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  om  =/=  (/)
4 cfom 7980 . 2  |-  ( cf ` 
om )  =  om
5 nnfi 7141 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  Fin )
6 pwfi 7241 . . . . 5  |-  ( x  e.  Fin  <->  ~P x  e.  Fin )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  ~P x  e.  Fin )
8 isfinite 7443 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  Fin  <->  ~P x  ~<  om )
97, 8sylib 188 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ~P x  ~<  om )
109rgen 2684 . 2  |-  A. x  e.  om  ~P x  ~<  om
11 elina 8399 . 2  |-  ( om  e.  Inacc 
<->  ( om  =/=  (/)  /\  ( cf `  om )  =  om  /\  A. x  e.  om  ~P x  ~<  om ) )
123, 4, 10, 11mpbir3an 1134 1  |-  om  e.  Inacc
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   (/)c0 3531   ~Pcpw 3701   class class class wbr 4104   omcom 4738   ` cfv 5337    ~< csdm 6950   Fincfn 6951   cfccf 7660   Inacccina 8395
This theorem is referenced by:  r1omALT  8488  r1omtsk  8491
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-inf2 7432
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-iin 3989  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-se 4435  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-isom 5346  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662  df-cf 7664  df-ina 8397
  Copyright terms: Public domain W3C validator