Theorem ominf 4536

Description: The set of natural numbers is infinite. Corollary 6D(b) of [Enderton] p. 136.

Assertion

Ref	Expression
ominf	|- -. om e. Fin

Proof of Theorem ominf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 4388	. . 3 |- (om e. Fin <-> E.x e. om om ~~ x)
2		pssinf 4534	. . . . 5 |- ((x (. om /\ x ~~ om) -> -. om e. Fin)
3		nnord 3146	. . . . . . . . 9 |- (x e. om -> Ord x)
4		ordom 3147	. . . . . . . . 9 |- Ord om
5	3, 4	jctir 293	. . . . . . . 8 |- (x e. om -> (Ord x /\ Ord om))
6		ordelssne 2980	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ Ord om) -> (x e. om <-> (x (_ om /\ x =/= om)))
7	5, 6	syl 10	. . . . . . 7 |- (x e. om -> (x e. om <-> (x (_ om /\ x =/= om)))
8	7	ibi 594	. . . . . 6 |- (x e. om -> (x (_ om /\ x =/= om))
9		df-pss 2058	. . . . . 6 |- (x (. om <-> (x (_ om /\ x =/= om))
10	8, 9	sylibr 200	. . . . 5 |- (x e. om -> x (. om)
11		visset 1816	. . . . . 6 |- x e. V
12	11	ensym 4418	. . . . 5 |- (om ~~ x -> x ~~ om)
13	2, 10, 12	syl2an 456	. . . 4 |- ((x e. om /\ om ~~ x) -> -. om e. Fin)
14	13	r19.23aiva 1747	. . 3 |- (E.x e. om om ~~ x -> -. om e. Fin)
15	1, 14	sylbi 199	. 2 |- (om e. Fin -> -. om e. Fin)
16		pm2.01 88	. 2 |- ((om e. Fin -> -. om e. Fin) -> -. om e. Fin)
17	15, 16	ax-mp 7	1 |- -. om e. Fin

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 960   =/= wne 1588  E.wrex 1649   (_ wss 2050   (. wpss 2051   class class class wbr 2624  Ord word 2953  omcom 3137   ~~ cen 4370  Fincfn 4373

This theorem is referenced by:  omsdomnn 4538

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-er 4267  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-fin 4377

Copyright terms: Public domain