MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Unicode version

Theorem ominf4 8025
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 4754 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 disjsn 3769 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
43con2bii 322 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  ( om  i^i  { (/) } )  =  (/) )
5 disj4 3579 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
65con2bii 322 . . . . 5  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  om  <->  -.  ( om  i^i  { (/) } )  =  (/) )
74, 6bitr4i 243 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
82, 7mpbi 199 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
9 limom 4750 . . . . 5  |-  Lim  om
109limenpsi 7121 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
11 ensym 6995 . . . 4  |-  ( om 
~~  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( om  \  { (/) } ) 
~~  om )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
13 fin4i 8011 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
148, 12, 13sylancr 644 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
151, 14pm2.65i 165 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1642    e. wcel 1710    \ cdif 3225    i^i cin 3227    C. wpss 3229   (/)c0 3531   {csn 3716   class class class wbr 4102   omcom 4735    ~~ cen 6945  FinIVcfin4 7993
This theorem is referenced by:  infpssALT  8026
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-fin4 8000
  Copyright terms: Public domain W3C validator