MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Unicode version

Theorem ominf4 7938
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 4675 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 disjsn 3693 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  (/)  e.  om )
43con2bii 322 . . . . 5  |-  ( (/)  e.  om  <->  -.  ( om  i^i  { (/) } )  =  (/) )
5 disj4 3503 . . . . . 6  |-  ( ( om  i^i  { (/) } )  =  (/)  <->  -.  ( om  \  { (/) } ) 
C.  om )
65con2bii 322 . . . . 5  |-  ( ( om  \  { (/) } )  C.  om  <->  -.  ( om  i^i  { (/) } )  =  (/) )
74, 6bitr4i 243 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
82, 7mpbi 199 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
9 limom 4671 . . . . 5  |-  Lim  om
109limenpsi 7036 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
11 ensym 6910 . . . 4  |-  ( om 
~~  ( om  \  { (/)
} )  ->  ( om  \  { (/) } ) 
~~  om )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
13 fin4i 7924 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
148, 12, 13sylancr 644 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
151, 14pm2.65i 165 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1623    e. wcel 1684    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   omcom 4656    ~~ cen 6860  FinIVcfin4 7906
This theorem is referenced by:  infpssALT  7939
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin4 7913
  Copyright terms: Public domain W3C validator