MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Structured version   Unicode version

Theorem ominf4 8223
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 21 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 4893 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 difsnpss 3965 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
42, 3mpbi 201 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
5 limom 4889 . . . . 5  |-  Lim  om
65limenpsi 7311 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
76ensymd 7187 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
8 fin4i 8209 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
94, 7, 8sylancr 646 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
101, 9pm2.65i 168 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1727    \ cdif 3303    C. wpss 3307   (/)c0 3613   {csn 3838   class class class wbr 4237   omcom 4874    ~~ cen 7135  FinIVcfin4 8191
This theorem is referenced by:  infpssALT  8224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-fin4 8198
  Copyright terms: Public domain W3C validator