MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ominf4 Unicode version

Theorem ominf4 8156
Description:  om is Dedekind infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
ominf4  |-  -.  om  e. FinIV

Proof of Theorem ominf4
StepHypRef Expression
1 id 20 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  e. FinIV )
2 peano1 4831 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3 difsnpss 3909 . . . 4  |-  ( (/)  e.  om  <->  ( om  \  { (/)
} )  C.  om )
42, 3mpbi 200 . . 3  |-  ( om 
\  { (/) } ) 
C.  om
5 limom 4827 . . . . 5  |-  Lim  om
65limenpsi 7249 . . . 4  |-  ( om  e. FinIV  ->  om  ~~  ( om 
\  { (/) } ) )
76ensymd 7125 . . 3  |-  ( om  e. FinIV  ->  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )
8 fin4i 8142 . . 3  |-  ( ( ( om  \  { (/)
} )  C.  om  /\  ( om  \  { (/)
} )  ~~  om )  ->  -.  om  e. FinIV )
94, 7, 8sylancr 645 . 2  |-  ( om  e. FinIV  ->  -.  om  e. FinIV )
101, 9pm2.65i 167 1  |-  -.  om  e. FinIV
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1721    \ cdif 3285    C. wpss 3289   (/)c0 3596   {csn 3782   class class class wbr 4180   omcom 4812    ~~ cen 7073  FinIVcfin4 8124
This theorem is referenced by:  infpssALT  8157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-fin4 8131
  Copyright terms: Public domain W3C validator