Theorem omlsilem 9244

Description: Lemma for orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsilem.1	|- G e. SH
omlsilem.2	|- H e. SH
omlsilem.3	|- G (_ H
omlsilem.4	|- (H i^i (_|_` G)) = 0H
omlsilem.5	|- A e. H
omlsilem.6	|- B e. G
omlsilem.7	|- C e. (_|_` G)

Assertion

Ref	Expression
omlsilem	|- (A = (B +h C) -> A e. G)

Proof of Theorem omlsilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsilem.2	. . . . . . . . . 10 |- H e. SH
2		omlsilem.5	. . . . . . . . . 10 |- A e. H
3	1, 2	sheli 9083	. . . . . . . . 9 |- A e. H~
4		omlsilem.1	. . . . . . . . . 10 |- G e. SH
5		omlsilem.6	. . . . . . . . . 10 |- B e. G
6	4, 5	sheli 9083	. . . . . . . . 9 |- B e. H~
7		shocss 9159	. . . . . . . . . . 11 |- (G e. SH -> (_|_` G) (_ H~)
8	4, 7	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- (_|_` G) (_ H~
9		omlsilem.7	. . . . . . . . . 10 |- C e. (_|_` G)
10	8, 9	sselii 2066	. . . . . . . . 9 |- C e. H~
11	3, 6, 10	hvsubadd 8933	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C <-> (B +h C) = A)
12		eqcom 1477	. . . . . . . 8 |- ((B +h C) = A <-> A = (B +h C))
13	11, 12	bitr 173	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C <-> A = (B +h C))
14		omlsilem.3	. . . . . . . . . 10 |- G (_ H
15	14, 5	sselii 2066	. . . . . . . . 9 |- B e. H
16		shsubcltOLD 9090	. . . . . . . . . 10 |- (H e. SH -> ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- ((A e. H /\ B e. H) -> (A -h B) e. H)
18	2, 15, 17	mp2an 697	. . . . . . . 8 |- (A -h B) e. H
19		eleq1 1534	. . . . . . . 8 |- ((A -h B) = C -> ((A -h B) e. H <-> C e. H))
20	18, 19	mpbii 193	. . . . . . 7 |- ((A -h B) = C -> C e. H)
21	13, 20	sylbir 201	. . . . . 6 |- (A = (B +h C) -> C e. H)
22		omlsilem.4	. . . . . . . . . 10 |- (H i^i (_|_` G)) = 0H
23	22	eleq2i 1538	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> C e. 0H)
24		elin 2207	. . . . . . . . 9 |- (C e. (H i^i (_|_` G)) <-> (C e. H /\ C e. (_|_` G)))
25		elch0 9126	. . . . . . . . 9 |- (C e. 0H <-> C = 0h)
26	23, 24, 25	3bitr3 181	. . . . . . . 8 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) <-> C = 0h)
27	26	biimp 151	. . . . . . 7 |- ((C e. H /\ C e. (_|_` G)) -> C = 0h)
28	9, 27	mpan2 696	. . . . . 6 |- (C e. H -> C = 0h)
29	21, 28	syl 10	. . . . 5 |- (A = (B +h C) -> C = 0h)
30	29	opreq2d 3976	. . . 4 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = (B +h 0h))
31		ax-hvaddid 8874	. . . . 5 |- (B e. H~ -> (B +h 0h) = B)
32	6, 31	ax-mp 7	. . . 4 |- (B +h 0h) = B
33	30, 32	syl6eq 1523	. . 3 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) = B)
34	33, 5	syl6eqel 1556	. 2 |- (A = (B +h C) -> (B +h C) e. G)
35		eleq1 1534	. 2 |- (A = (B +h C) -> (A e. G <-> (B +h C) e. G))
36	34, 35	mpbird 196	1 |- (A = (B +h C) -> A e. G)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  H~chil 8788   +h cva 8789  0hc0v 8791   -h cmv 8792  SHcsh 8797  _|_cort 8799  0Hc0h 8804

This theorem is referenced by:  omlsi 9245

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625  ax-hilex 8869  ax-hfvadd 8870  ax-hvcom 8871  ax-hvass 8872  ax-hv0cl 8873  ax-hvaddid 8874  ax-hfvmul 8875  ax-hvmulid 8876  ax-hvdistr2 8879  ax-hvmul0 8880  ax-hfi 8946  ax-his2 8950  ax-his3 8951

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-hvsub 8840  df-sh 9076  df-oc 9124  df-ch0 9125

Copyright terms: Public domain