Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omoe Structured version   Unicode version

Theorem omoe 13187
 Description: The difference of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
omoe

Proof of Theorem omoe
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odd2np1 12909 . . . . 5
2 odd2np1 12909 . . . . 5
31, 2bi2anan9 845 . . . 4
4 reeanv 2876 . . . . 5
5 2z 10313 . . . . . . . . 9
6 zsubcl 10320 . . . . . . . . 9
7 dvdsmul1 12872 . . . . . . . . 9
85, 6, 7sylancr 646 . . . . . . . 8
9 zcn 10288 . . . . . . . . 9
10 zcn 10288 . . . . . . . . 9
11 2cn 10071 . . . . . . . . . . . 12
12 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12
1311, 12mpan 653 . . . . . . . . . . 11
14 mulcl 9075 . . . . . . . . . . . 12
1511, 14mpan 653 . . . . . . . . . . 11
16 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . . . 12
17 pnpcan2 9342 . . . . . . . . . . . 12
1816, 17mp3an3 1269 . . . . . . . . . . 11
1913, 15, 18syl2an 465 . . . . . . . . . 10
20 subdi 9468 . . . . . . . . . . 11
2111, 20mp3an1 1267 . . . . . . . . . 10
2219, 21eqtr4d 2472 . . . . . . . . 9
239, 10, 22syl2an 465 . . . . . . . 8
248, 23breqtrrd 4239 . . . . . . 7
25 oveq12 6091 . . . . . . . 8
2625breq2d 4225 . . . . . . 7
2724, 26syl5ibcom 213 . . . . . 6
2827rexlimivv 2836 . . . . 5
294, 28sylbir 206 . . . 4
303, 29syl6bi 221 . . 3
3130imp 420 . 2
3231an4s 801 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2707   class class class wbr 4213  (class class class)co 6082  cc 8989  c1 8992   caddc 8994   cmul 8996   cmin 9292  c2 10050  cz 10283   cdivides 12853 This theorem is referenced by:  oddprm  13190  pythagtriplem13  13202  lgsquad2lem1  21143  lgsquad3  21146  jm2.22  27067  jm2.23  27068 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-n0 10223  df-z 10284  df-dvds 12854
 Copyright terms: Public domain W3C validator