MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth Structured version   Unicode version

Theorem omopth 6893
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analagous to nn0opthi 11555. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
21, 1oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) ) )
32oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B ) )
43eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B
) )  +o  B
)  =  ( ( ( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
5 eqeq1 2441 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  =  C  <->  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C ) )
65anbi1d 686 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) )
74, 6bibi12d 313 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) ) )
8 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
98, 8oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) ) )
10 id 20 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
119, 10oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )
1211eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
13 eqeq1 2441 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  =  D  <->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )
1413anbi2d 685 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
1512, 14bibi12d 313 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
16 oveq1 6080 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( C  +o  D )  =  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
) )
1716, 16oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) ) )
1817oveq1d 6088 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) )
1918eqeq2d 2446 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) ) )
20 eqeq2 2444 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  <->  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) ) ) )
2120anbi1d 686 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
2219, 21bibi12d 313 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
23 oveq2 6081 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  =  ( if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2423, 23oveq12d 6091 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
)  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
25 id 20 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  D  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )
2624, 25oveq12d 6091 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
2726eqeq2d 2446 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
28 eqeq2 2444 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D  <->  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2928anbi2d 685 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
3027, 29bibi12d 313 . 2  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) ) )
31 peano1 4856 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3231elimel 3783 . . 3  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
3331elimel 3783 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
3431elimel 3783 . . 3  |-  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  e. 
om
3531elimel 3783 . . 3  |-  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  e. 
om
3632, 33, 34, 35omopthi 6892 . 2  |-  ( ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 3775 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   (/)c0 3620   ifcif 3731   omcom 4837  (class class class)co 6073    +o coa 6713    .o comu 6714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721
  Copyright terms: Public domain W3C validator