MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopth Unicode version

Theorem omopth 6830
Description: An ordered pair theorem for finite integers. Analagous to nn0opthi 11483. (Contributed by Scott Fenton, 1-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 12-May-2012.)
Assertion
Ref Expression
omopth  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )

Proof of Theorem omopth
StepHypRef Expression
1 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  +o  B )  =  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
) )
21, 1oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  +o  B
)  .o  ( A  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) ) )
32oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B ) )
43eqeq1d 2388 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B
) )  +o  B
)  =  ( ( ( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
5 eqeq1 2386 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  ( A  =  C  <->  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C ) )
65anbi1d 686 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( A  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) )
74, 6bibi12d 313 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) ) ) )
8 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  =  ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) ) )
98, 8oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B
)  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  =  ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) ) )
10 id 20 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  B  =  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )
119, 10oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )
1211eqeq1d 2388 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D ) ) )
13 eqeq1 2386 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  ( B  =  D  <->  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )
1413anbi2d 685 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
1512, 14bibi12d 313 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  B )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  B  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
16 oveq1 6020 . . . . . 6  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( C  +o  D )  =  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
) )
1716, 16oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( C  +o  D
)  .o  ( C  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) ) )
1817oveq1d 6028 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) )
1918eqeq2d 2391 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D ) ) )
20 eqeq2 2389 . . . 4  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  <->  if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) ) ) )
2120anbi1d 686 . . 3  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) )
2219, 21bibi12d 313 . 2  |-  ( C  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  C  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) ) ) )
23 oveq2 6021 . . . . . 6  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  =  ( if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2423, 23oveq12d 6031 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D
)  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  =  ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
25 id 20 . . . . 5  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  D  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )
2624, 25oveq12d 6031 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
2726eqeq2d 2391 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
28 eqeq2 2389 . . . 4  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  ( if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D  <->  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) ) ) )
2928anbi2d 685 . . 3  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) )
3027, 29bibi12d 313 . 2  |-  ( D  =  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  ->  (
( ( ( ( if ( A  e. 
om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  D ) )  +o  D )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  D ) )  <->  ( (
( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) ) ) )
31 peano1 4797 . . . 4  |-  (/)  e.  om
3231elimel 3727 . . 3  |-  if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  e. 
om
3331elimel 3727 . . 3  |-  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  e. 
om
3431elimel 3727 . . 3  |-  if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  e. 
om
3531elimel 3727 . . 3  |-  if ( D  e.  om ,  D ,  (/) )  e. 
om
3632, 33, 34, 35omopthi 6829 . 2  |-  ( ( ( ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  .o  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) ) )  +o  if ( B  e. 
om ,  B ,  (/) ) )  =  ( ( ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  .o  ( if ( C  e.  om ,  C ,  (/) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )  +o  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) )  <->  ( if ( A  e.  om ,  A ,  (/) )  =  if ( C  e. 
om ,  C ,  (/) )  /\  if ( B  e.  om ,  B ,  (/) )  =  if ( D  e. 
om ,  D ,  (/) ) ) )
377, 15, 22, 30, 36dedth4h 3719 1  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  /\  ( C  e.  om  /\  D  e.  om )
)  ->  ( (
( ( A  +o  B )  .o  ( A  +o  B ) )  +o  B )  =  ( ( ( C  +o  D )  .o  ( C  +o  D
) )  +o  D
)  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3564   ifcif 3675   omcom 4778  (class class class)co 6013    +o coa 6650    .o comu 6651
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-omul 6658
  Copyright terms: Public domain W3C validator