Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthi Unicode version

Theorem omopthi 6655
 Description: An ordered pair theorem for . Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. This proof is adapted from nn0opthi 11285. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopth.1
omopth.2
omopth.3
omopth.4
Assertion
Ref Expression
omopthi

Proof of Theorem omopthi
StepHypRef Expression
1 omopth.1 . . . . . . . . . . . . 13
2 omopth.2 . . . . . . . . . . . . 13
31, 2nnacli 6612 . . . . . . . . . . . 12
43nnoni 4663 . . . . . . . . . . 11
54onordi 4497 . . . . . . . . . 10
6 omopth.3 . . . . . . . . . . . . 13
7 omopth.4 . . . . . . . . . . . . 13
86, 7nnacli 6612 . . . . . . . . . . . 12
98nnoni 4663 . . . . . . . . . . 11
109onordi 4497 . . . . . . . . . 10
11 ordtri3 4428 . . . . . . . . . 10
125, 10, 11mp2an 653 . . . . . . . . 9
1312con2bii 322 . . . . . . . 8
141, 2, 8, 7omopthlem2 6654 . . . . . . . . . 10
15 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10
1614, 15sylnib 295 . . . . . . . . 9
176, 7, 3, 2omopthlem2 6654 . . . . . . . . 9
1816, 17jaoi 368 . . . . . . . 8
1913, 18sylbir 204 . . . . . . 7
2019con4i 122 . . . . . 6
21 id 19 . . . . . . . . 9
2220, 20oveq12d 5876 . . . . . . . . . 10
2322oveq1d 5873 . . . . . . . . 9
2421, 23eqtr4d 2318 . . . . . . . 8
253, 3nnmcli 6613 . . . . . . . . 9
26 nnacan 6626 . . . . . . . . 9
2725, 2, 7, 26mp3an 1277 . . . . . . . 8
2824, 27sylib 188 . . . . . . 7
2928oveq2d 5874 . . . . . 6
3020, 29eqtr4d 2318 . . . . 5
31 nnacom 6615 . . . . . 6
322, 1, 31mp2an 653 . . . . 5
33 nnacom 6615 . . . . . 6
342, 6, 33mp2an 653 . . . . 5
3530, 32, 343eqtr4g 2340 . . . 4
36 nnacan 6626 . . . . 5
372, 1, 6, 36mp3an 1277 . . . 4
3835, 37sylib 188 . . 3
3938, 28jca 518 . 2
40 oveq12 5867 . . . 4
4140, 40oveq12d 5876 . . 3
42 simpr 447 . . 3
4341, 42oveq12d 5876 . 2
4439, 43impbii 180 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   word 4391  com 4656  (class class class)co 5858   coa 6476   comu 6477 This theorem is referenced by:  omopth  6656 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484
 Copyright terms: Public domain W3C validator