MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthlem1 Unicode version

Theorem omopthlem1 6653
Description: Lemma for omopthi 6655. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1  |-  A  e. 
om
omopthlem1.2  |-  C  e. 
om
Assertion
Ref Expression
omopthlem1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
2 peano2 4676 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  suc  A  e.  om
4 omopthlem1.2 . . . 4  |-  C  e. 
om
5 nnmwordi 6633 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C
) ) )
63, 4, 3, 5mp3an 1277 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C ) )
7 nnmwordri 6634 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C )  C_  ( C  .o  C ) ) )
83, 4, 4, 7mp3an 1277 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C
)  C_  ( C  .o  C ) )
96, 8sstrd 3189 . 2  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  C ) )
101nnoni 4663 . . 3  |-  A  e.  On
114nnoni 4663 . . 3  |-  C  e.  On
1210, 11onsucssi 4632 . 2  |-  ( A  e.  C  <->  suc  A  C_  C )
131, 1nnmcli 6613 . . . . . 6  |-  ( A  .o  A )  e. 
om
14 2onn 6638 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
151, 14nnmcli 6613 . . . . . 6  |-  ( A  .o  2o )  e. 
om
1613, 15nnacli 6612 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  om
1716nnoni 4663 . . . 4  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  On
184, 4nnmcli 6613 . . . . 5  |-  ( C  .o  C )  e. 
om
1918nnoni 4663 . . . 4  |-  ( C  .o  C )  e.  On
2017, 19onsucssi 4632 . . 3  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  C_  ( C  .o  C ) )
213, 1nnmcli 6613 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  .o  A )  e.  om
22 nnasuc 6604 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  A  .o  A )  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A )  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
) )
2321, 1, 22mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
)
24 nnmsuc 6605 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A ) )
253, 1, 24mp2an 653 . . . . 5  |-  ( suc 
A  .o  suc  A
)  =  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)
26 nnaass 6620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  A
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  A )  +o  A
)  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A
) ) )
2713, 1, 1, 26mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  A )  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A ) )
28 nnmcom 6624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A
) )
293, 1, 28mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A )
30 nnmsuc 6605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A ) )
311, 1, 30mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3229, 31eqtri 2303 . . . . . . . 8  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3332oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  A )  +o  A )  +o  A )
34 nnm2 6647 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
351, 34ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
)
3635oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  +o  A ) )
3727, 33, 363eqtr4ri 2314 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  A
)
38 suceq 4457 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc 
A  .o  A )  +o  A )  ->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A ) )
3937, 38ax-mp 8 . . . . 5  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )
4023, 25, 393eqtr4ri 2314 . . . 4  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( suc  A  .o  suc  A )
4140sseq1i 3202 . . 3  |-  ( suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) ) 
C_  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
4220, 41bitri 240 . 2  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
439, 12, 423imtr4i 257 1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   suc csuc 4394   omcom 4656  (class class class)co 5858   2oc2o 6473    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  omopthlem2  6654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484
  Copyright terms: Public domain W3C validator