MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthlem1 Structured version   Unicode version

Theorem omopthlem1 6898
Description: Lemma for omopthi 6900. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1  |-  A  e. 
om
omopthlem1.2  |-  C  e. 
om
Assertion
Ref Expression
omopthlem1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
2 peano2 4865 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  suc  A  e.  om
4 omopthlem1.2 . . . 4  |-  C  e. 
om
5 nnmwordi 6878 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C
) ) )
63, 4, 3, 5mp3an 1279 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C ) )
7 nnmwordri 6879 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C )  C_  ( C  .o  C ) ) )
83, 4, 4, 7mp3an 1279 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C
)  C_  ( C  .o  C ) )
96, 8sstrd 3358 . 2  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  C ) )
101nnoni 4852 . . 3  |-  A  e.  On
114nnoni 4852 . . 3  |-  C  e.  On
1210, 11onsucssi 4821 . 2  |-  ( A  e.  C  <->  suc  A  C_  C )
131, 1nnmcli 6858 . . . . . 6  |-  ( A  .o  A )  e. 
om
14 2onn 6883 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
151, 14nnmcli 6858 . . . . . 6  |-  ( A  .o  2o )  e. 
om
1613, 15nnacli 6857 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  om
1716nnoni 4852 . . . 4  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  On
184, 4nnmcli 6858 . . . . 5  |-  ( C  .o  C )  e. 
om
1918nnoni 4852 . . . 4  |-  ( C  .o  C )  e.  On
2017, 19onsucssi 4821 . . 3  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  C_  ( C  .o  C ) )
213, 1nnmcli 6858 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  .o  A )  e.  om
22 nnasuc 6849 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  A  .o  A )  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A )  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
) )
2321, 1, 22mp2an 654 . . . . 5  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
)
24 nnmsuc 6850 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A ) )
253, 1, 24mp2an 654 . . . . 5  |-  ( suc 
A  .o  suc  A
)  =  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)
26 nnaass 6865 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  A
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  A )  +o  A
)  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A
) ) )
2713, 1, 1, 26mp3an 1279 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  A )  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A ) )
28 nnmcom 6869 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A
) )
293, 1, 28mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A )
30 nnmsuc 6850 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A ) )
311, 1, 30mp2an 654 . . . . . . . . 9  |-  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3229, 31eqtri 2456 . . . . . . . 8  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3332oveq1i 6091 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  A )  +o  A )  +o  A )
34 nnm2 6892 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
351, 34ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
)
3635oveq2i 6092 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  +o  A ) )
3727, 33, 363eqtr4ri 2467 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  A
)
38 suceq 4646 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc 
A  .o  A )  +o  A )  ->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A ) )
3937, 38ax-mp 8 . . . . 5  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )
4023, 25, 393eqtr4ri 2467 . . . 4  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( suc  A  .o  suc  A )
4140sseq1i 3372 . . 3  |-  ( suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) ) 
C_  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
4220, 41bitri 241 . 2  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
439, 12, 423imtr4i 258 1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3320   suc csuc 4583   omcom 4845  (class class class)co 6081   2oc2o 6718    +o coa 6721    .o comu 6722
This theorem is referenced by:  omopthlem2  6899
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-omul 6729
  Copyright terms: Public domain W3C validator