MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omopthlem1 Unicode version

Theorem omopthlem1 6669
Description: Lemma for omopthi 6671. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
omopthlem1.1  |-  A  e. 
om
omopthlem1.2  |-  C  e. 
om
Assertion
Ref Expression
omopthlem1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )

Proof of Theorem omopthlem1
StepHypRef Expression
1 omopthlem1.1 . . . . 5  |-  A  e. 
om
2 peano2 4692 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  suc  A  e.  om )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  suc  A  e.  om
4 omopthlem1.2 . . . 4  |-  C  e. 
om
5 nnmwordi 6649 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  suc  A  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C
) ) )
63, 4, 3, 5mp3an 1277 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( suc  A  .o  C ) )
7 nnmwordri 6650 . . . 4  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  C  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( suc  A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C )  C_  ( C  .o  C ) ) )
83, 4, 4, 7mp3an 1277 . . 3  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  C
)  C_  ( C  .o  C ) )
96, 8sstrd 3202 . 2  |-  ( suc 
A  C_  C  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  C_  ( C  .o  C ) )
101nnoni 4679 . . 3  |-  A  e.  On
114nnoni 4679 . . 3  |-  C  e.  On
1210, 11onsucssi 4648 . 2  |-  ( A  e.  C  <->  suc  A  C_  C )
131, 1nnmcli 6629 . . . . . 6  |-  ( A  .o  A )  e. 
om
14 2onn 6654 . . . . . . 7  |-  2o  e.  om
151, 14nnmcli 6629 . . . . . 6  |-  ( A  .o  2o )  e. 
om
1613, 15nnacli 6628 . . . . 5  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  om
1716nnoni 4679 . . . 4  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  On
184, 4nnmcli 6629 . . . . 5  |-  ( C  .o  C )  e. 
om
1918nnoni 4679 . . . 4  |-  ( C  .o  C )  e.  On
2017, 19onsucssi 4648 . . 3  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  C_  ( C  .o  C ) )
213, 1nnmcli 6629 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  .o  A )  e.  om
22 nnasuc 6620 . . . . . 6  |-  ( ( ( suc  A  .o  A )  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A )  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
) )
2321, 1, 22mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)  =  suc  (
( suc  A  .o  A )  +o  A
)
24 nnmsuc 6621 . . . . . 6  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  suc  A )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  suc  A ) )
253, 1, 24mp2an 653 . . . . 5  |-  ( suc 
A  .o  suc  A
)  =  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  suc  A
)
26 nnaass 6636 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  A
)  e.  om  /\  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  (
( ( A  .o  A )  +o  A
)  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A
) ) )
2713, 1, 1, 26mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  A )  +o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  +o  A ) )
28 nnmcom 6640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( suc  A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A
) )
293, 1, 28mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( A  .o  suc  A )
30 nnmsuc 6621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  om  /\  A  e.  om )  ->  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A ) )
311, 1, 30mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( A  .o  suc  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3229, 31eqtri 2316 . . . . . . . 8  |-  ( suc 
A  .o  A )  =  ( ( A  .o  A )  +o  A )
3332oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )  =  ( ( ( A  .o  A )  +o  A )  +o  A )
34 nnm2 6663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
) )
351, 34ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( A  .o  2o )  =  ( A  +o  A
)
3635oveq2i 5885 . . . . . . 7  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  +o  A ) )
3727, 33, 363eqtr4ri 2327 . . . . . 6  |-  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc  A  .o  A )  +o  A
)
38 suceq 4473 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( ( suc 
A  .o  A )  +o  A )  ->  suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A ) )
3937, 38ax-mp 8 . . . . 5  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  suc  ( ( suc  A  .o  A
)  +o  A )
4023, 25, 393eqtr4ri 2327 . . . 4  |-  suc  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  =  ( suc  A  .o  suc  A )
4140sseq1i 3215 . . 3  |-  ( suc  ( ( A  .o  A )  +o  ( A  .o  2o ) ) 
C_  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
4220, 41bitri 240 . 2  |-  ( ( ( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C )  <->  ( suc  A  .o  suc  A ) 
C_  ( C  .o  C ) )
439, 12, 423imtr4i 257 1  |-  ( A  e.  C  ->  (
( A  .o  A
)  +o  ( A  .o  2o ) )  e.  ( C  .o  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   suc csuc 4410   omcom 4672  (class class class)co 5874   2oc2o 6489    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  omopthlem2  6670
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator