Theorem omord 4205

Description: Ordering property of ordinal multiplication. Proposition 8.19 of [TakeutiZaring] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
omord	|- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omord2 4204	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))
2	1	ex 373	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B))))
3	2	pm5.32rd 650	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
4		pm3.26 319	. . 3 |- (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) -> (C .o A) e. (C .o B))
5		opreq1 3974	. . . . . . . . . . 11 |- (C = (/) -> (C .o B) = ((/) .o B))
6	5	eqeq1d 1486	. . . . . . . . . 10 |- (C = (/) -> ((C .o B) = (/) <-> ((/) .o B) = (/)))
7		om0r 4180	. . . . . . . . . 10 |- (B e. On -> ((/) .o B) = (/))
8	6, 7	syl5cbir 211	. . . . . . . . 9 |- (B e. On -> (C = (/) -> (C .o B) = (/)))
9	8	necon3d 1607	. . . . . . . 8 |- (B e. On -> ((C .o B) =/= (/) -> C =/= (/)))
10		ne0i 2289	. . . . . . . 8 |- ((C .o A) e. (C .o B) -> (C .o B) =/= (/))
11	9, 10	syl5 21	. . . . . . 7 |- (B e. On -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
12	11	adantr 391	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> C =/= (/)))
13		on0eln0 3030	. . . . . . 7 |- (C e. On -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
14	13	adantl 390	. . . . . 6 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((/) e. C <-> C =/= (/)))
15	12, 14	sylibrd 204	. . . . 5 |- ((B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
16	15	3adant1 799	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> (/) e. C))
17	16	ancld 298	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> ((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C)))
18	4, 17	impbid2 520	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (((C .o A) e. (C .o B) /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))
19	3, 18	bitrd 530	1 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((A e. B /\ (/) e. C) <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960   =/= wne 1588  (/)c0 2283  Oncon0 2954  (class class class)co 3969   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  omlimcl 4215  oneo 4218  nnmord 4253

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain