Theorem omord2 4204

Description: Ordering property of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omord2	|- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Proof of Theorem omord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omordi 4203	. . 3 |- (((B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B)))
2	1	3adantl1 805	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B -> (C .o A) e. (C .o B)))
3		opreq2 3975	. . . . . 6 |- (A = B -> (C .o A) = (C .o B))
4	3	a1i 8	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A = B -> (C .o A) = (C .o B)))
5		omordi 4203	. . . . . 6 |- (((A e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (B e. A -> (C .o B) e. (C .o A)))
6	5	3adantl2 806	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (B e. A -> (C .o B) e. (C .o A)))
7	4, 6	orim12d 567	. . . 4 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((A = B \/ B e. A) -> ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
8	7	con3d 95	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (-. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A)) -> -. (A = B \/ B e. A)))
9		ordtri2 2988	. . . . . . . . 9 |- ((Ord (C .o A) /\ Ord (C .o B)) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
10		eloni 2964	. . . . . . . . 9 |- ((C .o A) e. On -> Ord (C .o A))
11		eloni 2964	. . . . . . . . 9 |- ((C .o B) e. On -> Ord (C .o B))
12	9, 10, 11	syl2an 456	. . . . . . . 8 |- (((C .o A) e. On /\ (C .o B) e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
13		omcl 4177	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ A e. On) -> (C .o A) e. On)
14		omcl 4177	. . . . . . . 8 |- ((C e. On /\ B e. On) -> (C .o B) e. On)
15	12, 13, 14	syl2an 456	. . . . . . 7 |- (((C e. On /\ A e. On) /\ (C e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
16	15	anandis 514	. . . . . 6 |- ((C e. On /\ (A e. On /\ B e. On)) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
17	16	ancoms 438	. . . . 5 |- (((A e. On /\ B e. On) /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
18	17	3impa 830	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
19	18	adantr 391	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) e. (C .o B) <-> -. ((C .o A) = (C .o B) \/ (C .o B) e. (C .o A))))
20		ordtri2 2988	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
21		eloni 2964	. . . . . 6 |- (A e. On -> Ord A)
22		eloni 2964	. . . . . 6 |- (B e. On -> Ord B)
23	20, 21, 22	syl2an 456	. . . . 5 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
24	23	3adant3 801	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
25	24	adantr 391	. . 3 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> -. (A = B \/ B e. A)))
26	8, 19, 25	3imtr4d 545	. 2 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> ((C .o A) e. (C .o B) -> A e. B))
27	2, 26	impbid 518	1 |- (((A e. On /\ B e. On /\ C e. On) /\ (/) e. C) -> (A e. B <-> (C .o A) e. (C .o B)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  Ord word 2953  Oncon0 2954  (class class class)co 3969   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  omord 4205  omword 4207

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-oadd 4141  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain