Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsinds Unicode version

Theorem omsinds 24219
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 4660 . . 3  |-  om  C_  On
2 epweon 4575 . . 3  |-  _E  We  On
3 wess 4380 . . 3  |-  ( om  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  om ) )
41, 2, 3mp2 17 . 2  |-  _E  We  om
5 epse 4376 . 2  |-  _E Se  om
6 omsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
8 predep 24192 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  ( om 
i^i  x ) )
9 ordom 4665 . . . . . . 7  |-  Ord  om
10 ordtr 4406 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
11 trss 4122 . . . . . . 7  |-  ( Tr 
om  ->  ( x  e. 
om  ->  x  C_  om )
)
129, 10, 11mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  C_ 
om )
13 dfss1 3373 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  om  <->  ( om  i^i  x )  =  x )
1412, 13sylib 188 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  ( om  i^i  x )  =  x )
158, 14eqtrd 2315 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  x )
1615raleqdv 2742 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  <->  A. y  e.  x  ps )
)
17 omsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1816, 17sylbid 206 . 2  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  ->  ph ) )
194, 5, 6, 7, 18wfis3 24215 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    i^i cin 3151    C_ wss 3152   Tr wtr 4113    _E cep 4303    We wwe 4351   Ord word 4391   Oncon0 4392   omcom 4656   Predcpred 24167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-pred 24168
  Copyright terms: Public domain W3C validator