Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsinds Unicode version

Theorem omsinds 24290
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 4676 . . 3  |-  om  C_  On
2 epweon 4591 . . 3  |-  _E  We  On
3 wess 4396 . . 3  |-  ( om  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  om ) )
41, 2, 3mp2 17 . 2  |-  _E  We  om
5 epse 4392 . 2  |-  _E Se  om
6 omsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
8 predep 24263 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  ( om 
i^i  x ) )
9 ordom 4681 . . . . . . 7  |-  Ord  om
10 ordtr 4422 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
11 trss 4138 . . . . . . 7  |-  ( Tr 
om  ->  ( x  e. 
om  ->  x  C_  om )
)
129, 10, 11mp2b 9 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  C_ 
om )
13 dfss1 3386 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  om  <->  ( om  i^i  x )  =  x )
1412, 13sylib 188 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  ( om  i^i  x )  =  x )
158, 14eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  x )
1615raleqdv 2755 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  <->  A. y  e.  x  ps )
)
17 omsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1816, 17sylbid 206 . 2  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  ->  ph ) )
194, 5, 6, 7, 18wfis3 24286 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    i^i cin 3164    C_ wss 3165   Tr wtr 4129    _E cep 4319    We wwe 4367   Ord word 4407   Oncon0 4408   omcom 4672   Predcpred 24238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-pred 24239
  Copyright terms: Public domain W3C validator