Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  omsinds Structured version   Unicode version

Theorem omsinds 25494
Description: Strong (or "total") induction principle over the finite ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
omsinds.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
omsinds.2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
omsinds.3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
Assertion
Ref Expression
omsinds  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Distinct variable groups:    x, A    ch, x    ph, y    ps, x    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    A( y)

Proof of Theorem omsinds
StepHypRef Expression
1 omsson 4849 . . 3  |-  om  C_  On
2 epweon 4764 . . 3  |-  _E  We  On
3 wess 4569 . . 3  |-  ( om  C_  On  ->  (  _E  We  On  ->  _E  We  om ) )
41, 2, 3mp2 9 . 2  |-  _E  We  om
5 epse 4565 . 2  |-  _E Se  om
6 omsinds.1 . 2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
7 omsinds.2 . 2  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ch ) )
8 predep 25467 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  ( om 
i^i  x ) )
9 ordom 4854 . . . . . . 7  |-  Ord  om
10 ordtr 4595 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
11 trss 4311 . . . . . . 7  |-  ( Tr 
om  ->  ( x  e. 
om  ->  x  C_  om )
)
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  om  ->  x  C_ 
om )
13 dfss1 3545 . . . . . 6  |-  ( x 
C_  om  <->  ( om  i^i  x )  =  x )
1412, 13sylib 189 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  ( om  i^i  x )  =  x )
158, 14eqtrd 2468 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  Pred (  _E  ,  om ,  x
)  =  x )
1615raleqdv 2910 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  <->  A. y  e.  x  ps )
)
17 omsinds.3 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  x  ps  ->  ph ) )
1816, 17sylbid 207 . 2  |-  ( x  e.  om  ->  ( A. y  e.  Pred  (  _E  ,  om ,  x ) ps  ->  ph ) )
194, 5, 6, 7, 18wfis3 25490 1  |-  ( A  e.  om  ->  ch )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705    i^i cin 3319    C_ wss 3320   Tr wtr 4302    _E cep 4492    We wwe 4540   Ord word 4580   Oncon0 4581   omcom 4845   Predcpred 25438
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-pred 25439
  Copyright terms: Public domain W3C validator