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Theorem omsmo 6668
Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmo  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmo
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om --> A )
2 omsmolem 6667 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
32adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
43imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
5 omsmolem 6667 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
65adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
76imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) )
84, 7orim12d 811 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
98ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F `  z
)  \/  ( F `
 z )  e.  ( F `  y
) ) ) )
109con3d 125 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( -.  ( ( F `  y )  e.  ( F `  z )  \/  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  ->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
11 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  A )
12 ssel 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  y )  e.  A  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
1311, 12syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
1413expdimp 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
15 eloni 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  y )  e.  On  ->  Ord  ( F `  y ) )
1614, 15syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  Ord  ( F `  y ) ) )
17 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  A )
18 ssel 3187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  z )  e.  A  ->  ( F `  z )  e.  On ) )
1917, 18syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
2019expdimp 426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
21 eloni 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  z )  e.  On  ->  Ord  ( F `  z ) )
2220, 21syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  Ord  ( F `  z ) ) )
2316, 22anim12d 546 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( ( y  e. 
om  /\  z  e.  om )  ->  ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `
 z ) ) ) )
2423imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  ( Ord  ( F `  y
)  /\  Ord  ( F `
 z ) ) )
25 ordtri3 4444 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `  z ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2726adantlr 695 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
28 nnord 4680 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
29 nnord 4680 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
30 ordtri3 4444 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3231adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3310, 27, 323imtr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
3433ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) )
35 dff13 5799 . 2  |-  ( F : om -1-1-> A  <->  ( F : om --> A  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
361, 34, 35sylanbrc 645 1  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   -->wf 5267   -1-1->wf1 5268   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  unblem4  7128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fv 5279
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