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Theorem omsmo 6889
Description: A strictly monotonic ordinal function on the set of natural numbers is one-to-one. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmo  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Distinct variable group:    x, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmo
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om --> A )
2 omsmolem 6888 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
32adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) ) )
43imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( y  e.  z  ->  ( F `  y )  e.  ( F `  z ) ) )
5 omsmolem 6888 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
65adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
76imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) )
84, 7orim12d 812 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  /\  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) ) )  ->  ( ( y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
98ancoms 440 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( (
y  e.  z  \/  z  e.  y )  ->  ( ( F `
 y )  e.  ( F `  z
)  \/  ( F `
 z )  e.  ( F `  y
) ) ) )
109con3d 127 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( -.  ( ( F `  y )  e.  ( F `  z )  \/  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  ->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
11 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  A )
12 ssel 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  y )  e.  A  ->  ( F `  y )  e.  On ) )
1311, 12syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  y  e.  om )  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
1413expdimp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  ( F `  y
)  e.  On ) )
15 eloni 4583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  y )  e.  On  ->  Ord  ( F `  y ) )
1614, 15syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( y  e.  om  ->  Ord  ( F `  y ) ) )
17 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  A )
18 ssel 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  z )  e.  A  ->  ( F `  z )  e.  On ) )
1917, 18syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  z  e.  om )  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
2019expdimp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  ( F `  z
)  e.  On ) )
21 eloni 4583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  z )  e.  On  ->  Ord  ( F `  z ) )
2220, 21syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( z  e.  om  ->  Ord  ( F `  z ) ) )
2316, 22anim12d 547 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  -> 
( ( y  e. 
om  /\  z  e.  om )  ->  ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `
 z ) ) ) )
2423imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  ( Ord  ( F `  y
)  /\  Ord  ( F `
 z ) ) )
25 ordtri3 4609 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  ( F `  y )  /\  Ord  ( F `  z ) )  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  ( y  e. 
om  /\  z  e.  om ) )  ->  (
( F `  y
)  =  ( F `
 z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
2726adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  <->  -.  (
( F `  y
)  e.  ( F `
 z )  \/  ( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) ) ) )
28 nnord 4845 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  Ord  y )
29 nnord 4845 . . . . . 6  |-  ( z  e.  om  ->  Ord  z )
30 ordtri3 4609 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  y  /\  Ord  z )  ->  (
y  =  z  <->  -.  (
y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3128, 29, 30syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  om  /\  z  e.  om )  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3231adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( y  =  z  <->  -.  ( y  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
3310, 27, 323imtr4d 260 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  ( y  e.  om  /\  z  e.  om )
)  ->  ( ( F `  y )  =  ( F `  z )  ->  y  =  z ) )
3433ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  A. y  e.  om  A. z  e. 
om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) )
35 dff13 5996 . 2  |-  ( F : om -1-1-> A  <->  ( F : om --> A  /\  A. y  e.  om  A. z  e.  om  ( ( F `
 y )  =  ( F `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
361, 34, 35sylanbrc 646 1  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  F : om -1-1-> A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575   omcom 4837   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   ` cfv 5446
This theorem is referenced by:  unblem4  7354
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fv 5454
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