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Theorem omsmolem 6667
Description: Lemma for omsmo 6668. (Contributed by NM, 30-Nov-2003.) (Revised by David Abernethy, 1-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
omsmolem  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    x, y, z, F
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem omsmolem
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2357 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( z  e.  y  <->  z  e.  (/) ) )
2 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  (/) ) )
32eleq2d 2363 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 311 . 2  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( z  e.  y  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 y ) )  <-> 
( z  e.  (/)  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 (/) ) ) ) )
5 eleq2 2357 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
z  e.  y  <->  z  e.  w ) )
6 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( F `  y )  =  ( F `  w ) )
76eleq2d 2363 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 y )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) )
85, 7imbi12d 311 . 2  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) ) ) )
9 eleq2 2357 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( z  e.  y  <-> 
z  e.  suc  w
) )
10 fveq2 5541 . . . 4  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 suc  w )
)
1110eleq2d 2363 . . 3  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( F `  z )  e.  ( F `  y )  <-> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
129, 11imbi12d 311 . 2  |-  ( y  =  suc  w  -> 
( ( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) )  <->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
13 noel 3472 . . . 4  |-  -.  z  e.  (/)
1413pm2.21i 123 . . 3  |-  ( z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) )
1514a1i 10 . 2  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
z  e.  (/)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  (/) ) ) )
16 vex 2804 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
1716elsuc 4477 . . . . 5  |-  ( z  e.  suc  w  <->  ( z  e.  w  \/  z  =  w ) )
18 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
19 suceq 4473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  suc  x  =  suc  w )
2019fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  suc  x )  =  ( F `  suc  w ) )
2118, 20eleq12d 2364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  e.  ( F `
 suc  x )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2221rspccva 2896 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) )
2322adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )
)
24 peano2b 4688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  om  <->  suc  w  e. 
om )
25 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : om --> A  /\  suc  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
2624, 25sylan2b 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( F `  suc  w )  e.  A
)
27 ssel 3187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F `  suc  w
)  e.  A  -> 
( F `  suc  w )  e.  On ) )
28 ontr1 4454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  /\  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
) )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
2928exp3acom23 1362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  suc  w
)  e.  On  ->  ( ( F `  w
)  e.  ( F `
 suc  w )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3026, 27, 29syl56 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  On  ->  ( ( F : om --> A  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) ) )
3130impl 603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `
 w )  e.  ( F `  suc  w )  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 w )  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) ) )
3231adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w
)  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) ) )
3323, 32mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F `  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
3433imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) )
3534imp 418 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
36 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  =  ( F `  w ) )
3736eleq1d 2362 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  w  ->  (
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )  <->  ( F `  w )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
3822, 37syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x )  /\  w  e.  om )  ->  (
z  =  w  -> 
( F `  z
)  e.  ( F `
 suc  w )
) )
3938adantll 694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4039adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  =  w  ->  ( F `
 z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4135, 40jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( (
z  e.  w  \/  z  =  w )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w
) ) )
4217, 41syl5bi 208 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  On  /\  F : om
--> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  /\  w  e.  om )  /\  ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) )
4342exp31 587 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e. 
om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x
) )  ->  (
w  e.  om  ->  ( ( z  e.  w  ->  ( F `  z
)  e.  ( F `
 w ) )  ->  ( z  e. 
suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
4443com12 27 . 2  |-  ( w  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( ( z  e.  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  w ) )  ->  ( z  e.  suc  w  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  suc  w ) ) ) ) )
454, 8, 12, 15, 44finds2 4700 1  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( A  C_  On  /\  F : om --> A )  /\  A. x  e.  om  ( F `  x )  e.  ( F `  suc  x ) )  -> 
( z  e.  y  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   (/)c0 3468   Oncon0 4408   suc csuc 4410   omcom 4672   -->wf 5267   ` cfv 5271
This theorem is referenced by:  omsmo  6668
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279
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