Theorem omssnlim 3145

Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
omssnlim	|- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Proof of Theorem omssnlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnont 3138	. . . 4 |- (y e. om -> y e. On)
2		nnlim 3144	. . . 4 |- (y e. om -> -. Lim y)
3	1, 2	jca 288	. . 3 |- (y e. om -> (y e. On /\ -. Lim y))
4		limeq 2960	. . . . 5 |- (x = y -> (Lim x <-> Lim y))
5	4	negbid 611	. . . 4 |- (x = y -> (-. Lim x <-> -. Lim y))
6	5	elrab 1905	. . 3 |- (y e. {x e. On | -. Lim x} <-> (y e. On /\ -. Lim y))
7	3, 6	sylibr 200	. 2 |- (y e. om -> y e. {x e. On | -. Lim x})
8	7	ssriv 2069	1 |- om (_ {x e. On | -. Lim x}

Syntax hints:  -. wn 2   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {crab 1648   (_ wss 2047  Oncon0 2948  Lim wlim 2949  omcom 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-rab 1652  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-om 3132

Copyright terms: Public domain