MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omssnlim Unicode version

Theorem omssnlim 4686
Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
omssnlim  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }

Proof of Theorem omssnlim
StepHypRef Expression
1 omsson 4676 . 2  |-  om  C_  On
2 nnlim 4685 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  -.  Lim  x )
32rgen 2621 . 2  |-  A. x  e.  om  -.  Lim  x
4 ssrab 3264 . 2  |-  ( om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  C_  On  /\  A. x  e.  om  -.  Lim  x ) )
51, 3, 4mpbir2an 886 1  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   A.wral 2556   {crab 2560    C_ wss 3165   Oncon0 4408   Lim wlim 4409   omcom 4672
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator