MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omssnlim Structured version   Unicode version

Theorem omssnlim 4859
Description: The class of natural numbers is a subclass of the class of non-limit ordinal numbers. Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 2-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
omssnlim  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }

Proof of Theorem omssnlim
StepHypRef Expression
1 omsson 4849 . 2  |-  om  C_  On
2 nnlim 4858 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  -.  Lim  x )
32rgen 2771 . 2  |-  A. x  e.  om  -.  Lim  x
4 ssrab 3421 . 2  |-  ( om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }  <->  ( om  C_  On  /\  A. x  e.  om  -.  Lim  x ) )
51, 3, 4mpbir2an 887 1  |-  om  C_  { x  e.  On  |  -.  Lim  x }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   A.wral 2705   {crab 2709    C_ wss 3320   Oncon0 4581   Lim wlim 4582   omcom 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846
  Copyright terms: Public domain W3C validator