Theorem omsuc 4171

Description: Multiplication with successor. Definition 8.15 of [TakeutiZaring] p. 62.

Assertion

Ref	Expression
omsuc	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Proof of Theorem omsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgsuct 3951	. . 3 |- (B e. On -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
2	1	adantl 390	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
3		omv 4157	. . 3 |- ((A e. On /\ suc B e. On) -> (A .o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B))
4		suceloni 3068	. . 3 |- (B e. On -> suc B e. On)
5	3, 4	sylan2 453	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` suc B))
6		omv 4157	. . . 4 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))
7	6	fveq2d 3734	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (A .o B)) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
8		oprex 3989	. . . 4 |- (A .o B) e. V
9		oprex 3989	. . . 4 |- ((A .o B) +o A) e. V
10		opreq1 3974	. . . 4 |- (x = (A .o B) -> (x +o A) = ((A .o B) +o A))
11	8, 9, 10	fvopab 3796	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (A .o B)) = ((A .o B) +o A)
12	7, 11	syl5eqr 1524	. 2 |- ((A e. On /\ B e. On) -> ((A .o B) +o A) = ({<.x, y>. | y = (x +o A)}` (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B)))
13	2, 5, 12	3eqtr4d 1520	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o suc B) = ((A .o B) +o A))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  (/)c0 2283  {copab 2671  Oncon0 2954  suc csuc 2956  ` cfv 3188  reccrdg 3937  (class class class)co 3969   +o coa 4136   .o comu 4137

This theorem is referenced by:  omcl 4177  om0r 4180  om1 4182  om1r 4183  omordi 4203  omwordri 4209  omlimcl 4215  odi 4216  omass 4217  oneo 4218  nnmsuc 4232

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-omul 4142

Copyright terms: Public domain