MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsucdomOLD Unicode version

Theorem omsucdomOLD 7056
Description: Strict dominance of natural numbers is the same as dominance over the successor of the smaller. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
omsucdomOLD  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem omsucdomOLD
StepHypRef Expression
1 nnord 4664 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
2 nnord 4664 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ordelpss 4420 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B ) )
42, 3sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B ) )
5 ordelsuc 4611 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
64, 5bitr3d 246 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  C.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
71, 6sylan2 460 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C.  B  <->  suc 
A  C_  B )
)
8 nnsdomo 7055 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  A  C.  B ) )
9 peano2b 4672 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
10 nndomo 7054 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
119, 10sylanb 458 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
127, 8, 113bitr4d 276 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684    C_ wss 3152    C. wpss 3153   class class class wbr 4023   Ord word 4391   suc csuc 4394   omcom 4656    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  fisucdomOLD  7066
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
  Copyright terms: Public domain W3C validator