MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omsucdomOLD Unicode version

Theorem omsucdomOLD 7239
Description: Strict dominance of natural numbers is the same as dominance over the successor of the smaller. (Contributed by NM, 25-Jul-2004.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
omsucdomOLD  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )

Proof of Theorem omsucdomOLD
StepHypRef Expression
1 nnord 4794 . . 3  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
2 nnord 4794 . . . . 5  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
3 ordelpss 4551 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B ) )
42, 3sylan 458 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  A  C.  B ) )
5 ordelsuc 4741 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  e.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
64, 5bitr3d 247 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  Ord  B )  ->  ( A  C.  B  <->  suc  A  C_  B ) )
71, 6sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C.  B  <->  suc 
A  C_  B )
)
8 nnsdomo 7238 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  A  C.  B ) )
9 peano2b 4802 . . 3  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
10 nndomo 7237 . . 3  |-  ( ( suc  A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
119, 10sylanb 459 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( suc  A  ~<_  B  <->  suc  A  C_  B )
)
127, 8, 113bitr4d 277 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  ~<  B  <->  suc  A  ~<_  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717    C_ wss 3264    C. wpss 3265   class class class wbr 4154   Ord word 4522   suc csuc 4525   omcom 4786    ~<_ cdom 7044    ~< csdm 7045
This theorem is referenced by:  fisucdomOLD  7249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator