Theorem omv 4151

Description: Value of ordinal multiplication.

Assertion

Ref	Expression
omv	|- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem omv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 3732	. 2 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B) e. V
2		opreq2 3969	. . . . 5 |- (w = A -> (x +o w) = (x +o A))
3	2	eqeq2d 1486	. . . 4 |- (w = A -> (y = (x +o w) <-> y = (x +o A)))
4	3	opabbidv 2670	. . 3 |- (w = A -> {<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)})
5		rdgeq1 3934	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = (x +o w)} = {<.x, y>. | y = (x +o A)} -> rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)))
6		fveq1 3723	. . 3 |- (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/)) = rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/)) -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
7	4, 5, 6	3syl 20	. 2 |- (w = A -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v))
8		fveq2 3724	. 2 |- (v = B -> (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` v) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))
9		df-omul 4136	. 2 |- .o = {<.<.w, v>., z>. | ((w e. On /\ v e. On) /\ z = (rec({<.x, y>. | y = (x +o w)}, (/))` v))}
10	1, 7, 8, 9	oprabval2 4028	1 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A .o B) = (rec({<.x, y>. | y = (x +o A)}, (/))` B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (/)c0 2280  {copab 2666  Oncon0 2948  ` cfv 3182  reccrdg 3931  (class class class)co 3963   +o coa 4130   .o comu 4131

This theorem is referenced by:  om0 4156  omsuc 4165  omlim 4168

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-omul 4136

Copyright terms: Public domain