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Theorem omxpenlem 7145
Description: Lemma for omxpen 7146. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
omxpenlem.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
Assertion
Ref Expression
omxpenlem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem omxpenlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4532 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
21ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  Ord  B )
3 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  B )
4 ordsucss 4738 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  C_  B ) )
52, 3, 4sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  C_  B )
6 onelon 4547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
76ad2ant2lr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  On )
8 suceloni 4733 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  e.  On )
10 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  B  e.  On )
11 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  A  e.  On )
12 omwordi 6750 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
145, 13mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) )
15 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
16 onelon 4547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
1716ad2ant2rl 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  On )
18 omcl 6716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
1911, 7, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  On )
20 oaord 6726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
2117, 11, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
2215, 21mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
23 omsuc 6706 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2411, 7, 23syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  suc  x ) )
2614, 25sseldd 3292 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
2726ralrimivva 2741 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
28 omxpenlem.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
2928fmpt2 6357 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  <->  F :
( B  X.  A
) --> ( A  .o  B ) )
3027, 29sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B ) )
31 ffn 5531 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
3230, 31syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
33 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  e.  On )
34 omcl 6716 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
35 onelon 4547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
3634, 35sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
37 noel 3575 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  m  e.  (/)
38 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
39 om0r 6719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
4038, 39sylan9eqr 2441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( m  e.  ( A  .o  B )  <-> 
m  e.  (/) ) )
4237, 41mtbiri 295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) )
4342ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) ) )
4443necon2ad 2598 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4645imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  =/=  (/) )
47 omeu 6764 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  m  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
4833, 36, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
49 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
50 vex 2902 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
5149, 50brcnv 4995 . . . . . . . 8  |-  ( m `' F n  <->  n F m )
52 eleq1 2447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) ) )
5352biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( A  .o  B )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
546ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  On )
)
5554ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  ->  x  e.  On ) )
56 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
57 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  On )
5856, 57, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
59 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A )
6056, 59, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
61 oaword1 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )
6258, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
63 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
) )
6434ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
65 ontr2 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6658, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6762, 63, 66mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B
) )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  B  e.  On )
69 ne0i 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
7063, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
71 on0eln0 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( A  .o  B )  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7264, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7370, 72mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  ( A  .o  B ) )
74 om00el 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7673, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
) )
7776simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  A
)
78 omord2 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
7957, 68, 56, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
8067, 79mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  B )
8180ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  B ) )
8255, 81impbid 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  On ) )
8382expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  On ) ) )
8483pm5.32rd 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A )
) )
8553, 84sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( m  e.  ( A  .o  B
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) )
8685expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) ) )
8786pm5.32rd 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  (
( A  .o  x
)  +o  y ) ) ) )
88 eqcom 2389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m )
8988anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x
)  +o  y ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
9087, 89syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
9190anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
92 an12 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
9391, 92syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
94932exbidv 1635 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) ) )
95 df-mpt2 6025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  m >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) }
96 dfoprab2 6060 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  m >.  |  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) }  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9728, 95, 963eqtri 2411 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9897breqi 4159 . . . . . . . . . 10  |-  ( n F m  <->  n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) } m )
99 df-br 4154 . . . . . . . . . 10  |-  ( n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } m  <->  <. n ,  m >.  e.  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } )
100 opabid 4402 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
{ <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }  <->  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) )
10198, 99, 1003bitri 263 . . . . . . . . 9  |-  ( n F m  <->  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) )
102 r2ex 2687 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  A  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10394, 101, 1023bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( n F m  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10451, 103syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m `' F n  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
105104eubidv 2246 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E! n  m `' F n  <-> 
E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
10648, 105mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n  m `' F n )
107106ralrimiva 2732 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. m  e.  ( A  .o  B ) E! n  m `' F n )
108 fnres 5501 . . . 4  |-  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B ) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  A. m  e.  ( A  .o  B
) E! n  m `' F n )
109107, 108sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B ) )
110 relcnv 5182 . . . . 5  |-  Rel  `' F
111 df-rn 4829 . . . . . 6  |-  ran  F  =  dom  `' F
112 frn 5537 . . . . . . 7  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
11330, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
114111, 113syl5eqssr 3336 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  dom  `' F  C_  ( A  .o  B
) )
115 relssres 5123 . . . . 5  |-  ( ( Rel  `' F  /\  dom  `' F  C_  ( A  .o  B ) )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
116110, 114, 115sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
117116fneq1d 5476 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
118109, 117mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F  Fn  ( A  .o  B ) )
119 dff1o4 5622 . 2  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  <->  ( F  Fn  ( B  X.  A
)  /\  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
12032, 118, 119sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   E!weu 2238    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   (/)c0 3571   <.cop 3760   class class class wbr 4153   {copab 4206   Ord word 4521   Oncon0 4522   suc csuc 4524    X. cxp 4816   `'ccnv 4817   dom cdm 4818   ran crn 4819    |` cres 4820   Rel wrel 4823    Fn wfn 5389   -->wf 5390   -1-1-onto->wf1o 5393  (class class class)co 6020   {coprab 6021    e. cmpt2 6022    +o coa 6657    .o comu 6658
This theorem is referenced by:  omxpen  7146  omf1o  7147  infxpenc  7832
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-omul 6665
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