MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  omxpenlem Unicode version

Theorem omxpenlem 6979
Description: Lemma for omxpen 6980. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
omxpenlem.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
Assertion
Ref Expression
omxpenlem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem omxpenlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
21ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  Ord  B )
3 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  B )
4 ordsucss 4625 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  C_  B ) )
52, 3, 4sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  C_  B )
6 onelon 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
76ad2ant2lr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  On )
8 suceloni 4620 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  e.  On )
10 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  B  e.  On )
11 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  A  e.  On )
12 omwordi 6585 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
145, 13mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) )
15 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
16 onelon 4433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
1716ad2ant2rl 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  On )
18 omcl 6551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
1911, 7, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  On )
20 oaord 6561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
2117, 11, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
2215, 21mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
23 omsuc 6541 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2411, 7, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2373 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  suc  x ) )
2614, 25sseldd 3194 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
2726ralrimivva 2648 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
28 omxpenlem.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
2928fmpt2 6207 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  <->  F :
( B  X.  A
) --> ( A  .o  B ) )
3027, 29sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B ) )
31 ffn 5405 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
3230, 31syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
33 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  e.  On )
34 omcl 6551 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
35 onelon 4433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
3634, 35sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
37 noel 3472 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  m  e.  (/)
38 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
39 om0r 6554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
4038, 39sylan9eqr 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( m  e.  ( A  .o  B )  <-> 
m  e.  (/) ) )
4237, 41mtbiri 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) )
4342ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) ) )
4443necon2ad 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4544adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4645imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  =/=  (/) )
47 omeu 6599 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  m  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
4833, 36, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
49 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
50 vex 2804 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
5149, 50brcnv 4880 . . . . . . . 8  |-  ( m `' F n  <->  n F m )
52 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) ) )
5352biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( A  .o  B )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
546ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  On )
)
5554ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  ->  x  e.  On ) )
56 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  On )
5856, 57, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A )
6056, 59, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
61 oaword1 6566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )
6258, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
63 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
) )
6434ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
65 ontr2 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6658, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6762, 63, 66mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B
) )
68 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  B  e.  On )
69 ne0i 3474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
7063, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
71 on0eln0 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( A  .o  B )  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7264, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7370, 72mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  ( A  .o  B ) )
74 om00el 6590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7673, 75mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
) )
7776simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  A
)
78 omord2 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
7957, 68, 56, 77, 78syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
8067, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  B )
8180ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  B ) )
8255, 81impbid 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  On ) )
8382expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  On ) ) )
8483pm5.32rd 621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A )
) )
8553, 84sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( m  e.  ( A  .o  B
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) )
8685expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) ) )
8786pm5.32rd 621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  (
( A  .o  x
)  +o  y ) ) ) )
88 eqcom 2298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m )
8988anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x
)  +o  y ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
9087, 89syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
9190anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
92 an12 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
9391, 92syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
94932exbidv 1618 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) ) )
95 df-mpt2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  m >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) }
96 dfoprab2 5911 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  m >.  |  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) }  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9728, 95, 963eqtri 2320 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9897breqi 4045 . . . . . . . . . 10  |-  ( n F m  <->  n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) } m )
99 df-br 4040 . . . . . . . . . 10  |-  ( n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } m  <->  <. n ,  m >.  e.  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } )
100 opabid 4287 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
{ <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }  <->  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) )
10198, 99, 1003bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( n F m  <->  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) )
102 r2ex 2594 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  A  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10394, 101, 1023bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( n F m  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10451, 103syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m `' F n  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
105104eubidv 2164 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E! n  m `' F n  <-> 
E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
10648, 105mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n  m `' F n )
107106ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. m  e.  ( A  .o  B ) E! n  m `' F n )
108 fnres 5376 . . . 4  |-  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B ) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  A. m  e.  ( A  .o  B
) E! n  m `' F n )
109107, 108sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B ) )
110 relcnv 5067 . . . . 5  |-  Rel  `' F
111 df-rn 4716 . . . . . 6  |-  ran  F  =  dom  `' F
112 frn 5411 . . . . . . 7  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
11330, 112syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
114111, 113syl5eqssr 3236 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  dom  `' F  C_  ( A  .o  B
) )
115 relssres 5008 . . . . 5  |-  ( ( Rel  `' F  /\  dom  `' F  C_  ( A  .o  B ) )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
116110, 114, 115sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
117116fneq1d 5351 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
118109, 117mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F  Fn  ( A  .o  B ) )
119 dff1o4 5496 . 2  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  <->  ( F  Fn  ( B  X.  A
)  /\  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
12032, 118, 119sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E!weu 2156    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   <.cop 3656   class class class wbr 4039   {copab 4092   Ord word 4407   Oncon0 4408   suc csuc 4410    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   dom cdm 4705   ran crn 4706    |` cres 4707   Rel wrel 4710    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270  (class class class)co 5874   {coprab 5875    e. cmpt2 5876    +o coa 6492    .o comu 6493
This theorem is referenced by:  omxpen  6980  omf1o  6981  infxpenc  7661
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-omul 6500
  Copyright terms: Public domain W3C validator