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Theorem omxpenlem 7201
Description: Lemma for omxpen 7202. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
omxpenlem.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
Assertion
Ref Expression
omxpenlem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem omxpenlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4583 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
21ad2antlr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  Ord  B )
3 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  B )
4 ordsucss 4790 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  C_  B ) )
52, 3, 4sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  C_  B )
6 onelon 4598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
76ad2ant2lr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  On )
8 suceloni 4785 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
97, 8syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  e.  On )
10 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  B  e.  On )
11 simpll 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  A  e.  On )
12 omwordi 6806 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
145, 13mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) )
15 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
16 onelon 4598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
1716ad2ant2rl 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  On )
18 omcl 6772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
1911, 7, 18syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  On )
20 oaord 6782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
2117, 11, 19, 20syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
2215, 21mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
23 omsuc 6762 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2411, 7, 23syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  suc  x ) )
2614, 25sseldd 3341 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
2726ralrimivva 2790 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
28 omxpenlem.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
2928fmpt2 6410 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  <->  F :
( B  X.  A
) --> ( A  .o  B ) )
3027, 29sylib 189 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B ) )
31 ffn 5583 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
3230, 31syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
33 simpll 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  e.  On )
34 omcl 6772 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
35 onelon 4598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
3634, 35sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
37 noel 3624 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  m  e.  (/)
38 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
39 om0r 6775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
4038, 39sylan9eqr 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( m  e.  ( A  .o  B )  <-> 
m  e.  (/) ) )
4237, 41mtbiri 295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) )
4342ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) ) )
4443necon2ad 2646 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4544adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4645imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  =/=  (/) )
47 omeu 6820 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  m  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
4833, 36, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
49 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
50 vex 2951 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
5149, 50brcnv 5047 . . . . . . . 8  |-  ( m `' F n  <->  n F m )
52 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) ) )
5352biimpac 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( A  .o  B )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
546ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  On )
)
5554ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  ->  x  e.  On ) )
56 simplll 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
57 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  On )
5856, 57, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
59 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A )
6056, 59, 16syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
61 oaword1 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )
6258, 60, 61syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
63 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
) )
6434ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
65 ontr2 4620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6658, 64, 65syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6762, 63, 66mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B
) )
68 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  B  e.  On )
69 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
7063, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
71 on0eln0 4628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( A  .o  B )  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7264, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7370, 72mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  ( A  .o  B ) )
74 om00el 6811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7574ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7673, 75mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
) )
7776simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  A
)
78 omord2 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
7957, 68, 56, 77, 78syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
8067, 79mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  B )
8180ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  B ) )
8255, 81impbid 184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  On ) )
8382expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  On ) ) )
8483pm5.32rd 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A )
) )
8553, 84sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( m  e.  ( A  .o  B
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) )
8685expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) ) )
8786pm5.32rd 622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  (
( A  .o  x
)  +o  y ) ) ) )
88 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m )
8988anbi2i 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x
)  +o  y ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
9087, 89syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
9190anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
92 an12 773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
9391, 92syl6bb 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
94932exbidv 1638 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) ) )
95 df-mpt2 6078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  m >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) }
96 dfoprab2 6113 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  m >.  |  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) }  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9728, 95, 963eqtri 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9897breqi 4210 . . . . . . . . . 10  |-  ( n F m  <->  n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) } m )
99 df-br 4205 . . . . . . . . . 10  |-  ( n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } m  <->  <. n ,  m >.  e.  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } )
100 opabid 4453 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
{ <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }  <->  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) )
10198, 99, 1003bitri 263 . . . . . . . . 9  |-  ( n F m  <->  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) )
102 r2ex 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  A  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10394, 101, 1023bitr4g 280 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( n F m  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10451, 103syl5bb 249 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m `' F n  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
105104eubidv 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E! n  m `' F n  <-> 
E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
10648, 105mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n  m `' F n )
107106ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. m  e.  ( A  .o  B ) E! n  m `' F n )
108 fnres 5553 . . . 4  |-  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B ) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  A. m  e.  ( A  .o  B
) E! n  m `' F n )
109107, 108sylibr 204 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B ) )
110 relcnv 5234 . . . . 5  |-  Rel  `' F
111 df-rn 4881 . . . . . 6  |-  ran  F  =  dom  `' F
112 frn 5589 . . . . . . 7  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
11330, 112syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
114111, 113syl5eqssr 3385 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  dom  `' F  C_  ( A  .o  B
) )
115 relssres 5175 . . . . 5  |-  ( ( Rel  `' F  /\  dom  `' F  C_  ( A  .o  B ) )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
116110, 114, 115sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
117116fneq1d 5528 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
118109, 117mpbid 202 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F  Fn  ( A  .o  B ) )
119 dff1o4 5674 . 2  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  <->  ( F  Fn  ( B  X.  A
)  /\  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
12032, 118, 119sylanbrc 646 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E!weu 2280    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   <.cop 3809   class class class wbr 4204   {copab 4257   Ord word 4572   Oncon0 4573   suc csuc 4575    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871    |` cres 4872   Rel wrel 4875    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445  (class class class)co 6073   {coprab 6074    e. cmpt2 6075    +o coa 6713    .o comu 6714
This theorem is referenced by:  omxpen  7202  omf1o  7203  infxpenc  7891
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721
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