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Theorem omxpenlem 6963
Description: Lemma for omxpen 6964. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
omxpenlem.1  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
Assertion
Ref Expression
omxpenlem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Distinct variable groups:    x, A, y    x, B, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem omxpenlem
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eloni 4402 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
21ad2antlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  Ord  B )
3 simprl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  B )
4 ordsucss 4609 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
B  ->  ( x  e.  B  ->  suc  x  C_  B ) )
52, 3, 4sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  C_  B )
6 onelon 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  On )
76ad2ant2lr 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  On )
8 suceloni 4604 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  On  ->  suc  x  e.  On )
97, 8syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  suc  x  e.  On )
10 simplr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  B  e.  On )
11 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  ->  A  e.  On )
12 omwordi 6569 . . . . . . . 8  |-  ( ( suc  x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
139, 10, 11, 12syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( suc  x  C_  B  ->  ( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) ) )
145, 13mpd 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  C_  ( A  .o  B ) )
15 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
16 onelon 4417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
1716ad2ant2rl 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  On )
18 omcl 6535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  e.  On )
1911, 7, 18syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  On )
20 oaord 6545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  On  /\  A  e.  On  /\  ( A  .o  x )  e.  On )  ->  (
y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) ) )
2117, 11, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  A  <->  ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) ) )
2215, 21mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( ( A  .o  x )  +o  A ) )
23 omsuc 6525 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2411, 7, 23syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( A  .o  suc  x )  =  ( ( A  .o  x
)  +o  A ) )
2522, 24eleqtrrd 2360 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  suc  x ) )
2614, 25sseldd 3181 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
2726ralrimivva 2635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  A  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
28 omxpenlem.1 . . . . 5  |-  F  =  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
2928fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  A  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  <->  F :
( B  X.  A
) --> ( A  .o  B ) )
3027, 29sylib 188 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B ) )
31 ffn 5389 . . 3  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
3230, 31syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F  Fn  ( B  X.  A ) )
33 simpll 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  e.  On )
34 omcl 6535 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( A  .o  B
)  e.  On )
35 onelon 4417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .o  B
)  e.  On  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
3634, 35sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  m  e.  On )
37 noel 3459 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  m  e.  (/)
38 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  .o  B )  =  ( (/)  .o  B
) )
39 om0r 6538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  On  ->  ( (/) 
.o  B )  =  (/) )
4038, 39sylan9eqr 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( A  .o  B
)  =  (/) )
4140eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  -> 
( m  e.  ( A  .o  B )  <-> 
m  e.  (/) ) )
4237, 41mtbiri 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  =  (/) )  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) )
4342ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  =  (/)  ->  -.  m  e.  ( A  .o  B ) ) )
4443necon2ad 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  On  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4544adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( m  e.  ( A  .o  B )  ->  A  =/=  (/) ) )
4645imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  A  =/=  (/) )
47 omeu 6583 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  m  e.  On  /\  A  =/=  (/) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
4833, 36, 46, 47syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
49 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  m  e. 
_V
50 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  n  e. 
_V
5149, 50brcnv 4864 . . . . . . . 8  |-  ( m `' F n  <->  n F m )
52 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
m  e.  ( A  .o  B )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) ) )
5352biimpac 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  ( A  .o  B )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  -> 
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B ) )
546ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  On  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  On )
)
5554ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  ->  x  e.  On ) )
56 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  A  e.  On )
57 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  On )
5856, 57, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  On )
59 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  A )
6056, 59, 16syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  y  e.  On )
61 oaword1 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )
6258, 60, 61syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )
63 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
) )
6434ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  e.  On )
65 ontr2 4439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  .o  x
)  e.  On  /\  ( A  .o  B
)  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x ) 
C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6658, 64, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( ( ( A  .o  x
)  C_  ( ( A  .o  x )  +o  y )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  -> 
( A  .o  x
)  e.  ( A  .o  B ) ) )
6762, 63, 66mp2and 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B
) )
68 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  B  e.  On )
69 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( A  .o  x
)  +o  y )  e.  ( A  .o  B )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
7063, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( A  .o  B )  =/=  (/) )
71 on0eln0 4447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  .o  B )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( A  .o  B )  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7264, 71syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( A  .o  B )  =/=  (/) ) )
7370, 72mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  ( A  .o  B ) )
74 om00el 6574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B )  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7574ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  ( A  .o  B
)  <->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B ) ) )
7673, 75mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( (/)  e.  A  /\  (/)  e.  B
) )
7776simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  (/)  e.  A
)
78 omord2 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  B  e.  On  /\  A  e.  On )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
7957, 68, 56, 77, 78syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  ( x  e.  B  <->  ( A  .o  x )  e.  ( A  .o  B ) ) )
8067, 79mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  (
( ( A  .o  x )  +o  y
)  e.  ( A  .o  B )  /\  y  e.  A )
)  /\  x  e.  On )  ->  x  e.  B )
8180ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  On  ->  x  e.  B ) )
8255, 81impbid 183 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B
)  /\  y  e.  A ) )  -> 
( x  e.  B  <->  x  e.  On ) )
8382expr 598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( y  e.  A  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  On ) ) )
8483pm5.32rd 621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A )
) )
8553, 84sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  ( m  e.  ( A  .o  B
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  -> 
( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) )
8685expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  ->  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  A ) ) ) )
8786pm5.32rd 621 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  (
( A  .o  x
)  +o  y ) ) ) )
88 eqcom 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y )  <->  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m )
8988anbi2i 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x
)  +o  y ) )  <->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) )
9087, 89syl6bb 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
9190anbi2d 684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
92 an12 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y )  =  m ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
9391, 92syl6bb 252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) ) )
94932exbidv 1614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) ) )
95 df-mpt2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  B ,  y  e.  A  |->  ( ( A  .o  x )  +o  y ) )  =  { <. <. x ,  y >. ,  m >.  |  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) }
96 dfoprab2 5895 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  m >.  |  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) }  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9728, 95, 963eqtri 2307 . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }
9897breqi 4029 . . . . . . . . . 10  |-  ( n F m  <->  n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) } m )
99 df-br 4024 . . . . . . . . . 10  |-  ( n { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } m  <->  <. n ,  m >.  e.  { <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  =  <. x ,  y
>.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) } )
100 opabid 4271 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
n ,  m >.  e. 
{ <. n ,  m >.  |  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) }  <->  E. x E. y
( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( x  e.  B  /\  y  e.  A
)  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y
) ) ) )
10198, 99, 1003bitri 262 . . . . . . . . 9  |-  ( n F m  <->  E. x E. y ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  A )  /\  m  =  ( ( A  .o  x )  +o  y ) ) ) )
102 r2ex 2581 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  E. y  e.  A  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m )  <->  E. x E. y ( ( x  e.  On  /\  y  e.  A )  /\  (
n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10394, 101, 1023bitr4g 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( n F m  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  =  <. x ,  y >.  /\  (
( A  .o  x
)  +o  y )  =  m ) ) )
10451, 103syl5bb 248 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( m `' F n  <->  E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
105104eubidv 2151 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  ( E! n  m `' F n  <-> 
E! n E. x  e.  On  E. y  e.  A  ( n  = 
<. x ,  y >.  /\  ( ( A  .o  x )  +o  y
)  =  m ) ) )
10648, 105mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  m  e.  ( A  .o  B ) )  ->  E! n  m `' F n )
107106ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  A. m  e.  ( A  .o  B ) E! n  m `' F n )
108 fnres 5360 . . . 4  |-  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B ) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  A. m  e.  ( A  .o  B
) E! n  m `' F n )
109107, 108sylibr 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B ) )
110 relcnv 5051 . . . . 5  |-  Rel  `' F
111 df-rn 4700 . . . . . 6  |-  ran  F  =  dom  `' F
112 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( F : ( B  X.  A ) --> ( A  .o  B )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
11330, 112syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ran  F  C_  ( A  .o  B ) )
114111, 113syl5eqssr 3223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  dom  `' F  C_  ( A  .o  B
) )
115 relssres 4992 . . . . 5  |-  ( ( Rel  `' F  /\  dom  `' F  C_  ( A  .o  B ) )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
116110, 114, 115sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  =  `' F )
117116fneq1d 5335 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( ( `' F  |`  ( A  .o  B
) )  Fn  ( A  .o  B )  <->  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
118109, 117mpbid 201 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  `' F  Fn  ( A  .o  B ) )
119 dff1o4 5480 . 2  |-  ( F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B
)  <->  ( F  Fn  ( B  X.  A
)  /\  `' F  Fn  ( A  .o  B
) ) )
12032, 118, 119sylanbrc 645 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  F : ( B  X.  A ) -1-1-onto-> ( A  .o  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E!weu 2143    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   <.cop 3643   class class class wbr 4023   {copab 4076   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   Rel wrel 4694    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254  (class class class)co 5858   {coprab 5859    e. cmpt2 5860    +o coa 6476    .o comu 6477
This theorem is referenced by:  omxpen  6964  omf1o  6965  infxpenc  7645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484
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