MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomen Structured version   Unicode version

Theorem ondomen 7923
Description: If a set is dominated by an ordinal, then it is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
ondomen  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )

Proof of Theorem ondomen
Dummy variables  x  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4219 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<_  x  <->  B  ~<_  A ) )
21rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  ~<_  A )  ->  E. x  e.  On  B  ~<_  x )
3 ac10ct 7920 . . 3  |-  ( E. x  e.  On  B  ~<_  x  ->  E. r  r  We  B )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  ~<_  A )  ->  E. r  r  We  B )
5 ween 7921 . 2  |-  ( B  e.  dom  card  <->  E. r 
r  We  B )
64, 5sylibr 205 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  ~<_  A )  ->  B  e.  dom  card )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4215    We wwe 4543   Oncon0 4584   dom cdm 4881    ~<_ cdom 7110   cardccrd 7827
This theorem is referenced by:  numdom  7924  alephnbtwn2  7958  alephsucdom  7965  fictb  8130  cfslb2n  8153  gchaleph2  8552  hargch  8553  inawinalem  8569  rankcf  8657  tskuni  8663  1stcrestlem  17520  2ndcctbss  17523  2ndcomap  17526  2ndcsep  17527  tx1stc  17687  tx2ndc  17688  met2ndci  18557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-suc 4590  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-riota 6552  df-recs 6636  df-en 7113  df-dom 7114  df-card 7831
  Copyright terms: Public domain W3C validator