Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ondomon Structured version   Unicode version

Theorem ondomon 8440
 Description: The collection of ordinal numbers dominated by a set is an ordinal number. (In general, not all collections of ordinal numbers are ordinal.) Theorem 56 of [Suppes] p. 227. This theorem can be proved (with a longer proof) without the Axiom of Choice; see hartogs 7515. (Contributed by NM, 7-Nov-2003.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ondomon
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem ondomon
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelon 4608 . . . . . . . . . . . 12
2 vex 2961 . . . . . . . . . . . . 13
3 onelss 4625 . . . . . . . . . . . . . 14
43imp 420 . . . . . . . . . . . . 13
5 ssdomg 7155 . . . . . . . . . . . . 13
62, 4, 5mpsyl 62 . . . . . . . . . . . 12
71, 6jca 520 . . . . . . . . . . 11
8 domtr 7162 . . . . . . . . . . . . 13
98anim2i 554 . . . . . . . . . . . 12
109anassrs 631 . . . . . . . . . . 11
117, 10sylan 459 . . . . . . . . . 10
1211exp31 589 . . . . . . . . 9
1312com12 30 . . . . . . . 8
1413imp3a 422 . . . . . . 7
15 breq1 4217 . . . . . . . 8
1615elrab 3094 . . . . . . 7
17 breq1 4217 . . . . . . . 8
1817elrab 3094 . . . . . . 7
1914, 16, 183imtr4g 263 . . . . . 6
2019imp 420 . . . . 5
2120gen2 1557 . . . 4
22 dftr2 4306 . . . 4
2321, 22mpbir 202 . . 3
24 ssrab2 3430 . . 3
25 ordon 4765 . . 3
26 trssord 4600 . . 3
2723, 24, 25, 26mp3an 1280 . 2
28 elex 2966 . . . . . 6
29 canth2g 7263 . . . . . . . . 9
30 domsdomtr 7244 . . . . . . . . 9
3129, 30sylan2 462 . . . . . . . 8
3231expcom 426 . . . . . . 7
3332ralrimivw 2792 . . . . . 6
3428, 33syl 16 . . . . 5
35 ss2rab 3421 . . . . 5
3634, 35sylibr 205 . . . 4
37 pwexg 4385 . . . . . 6
38 numth3 8352 . . . . . 6
39 cardval2 7880 . . . . . 6
4037, 38, 393syl 19 . . . . 5
41 fvex 5744 . . . . 5
4240, 41syl6eqelr 2527 . . . 4
43 ssexg 4351 . . . 4
4436, 42, 43syl2anc 644 . . 3
45 elong 4591 . . 3
4644, 45syl 16 . 2
4727, 46mpbiri 226 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360  wal 1550   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  crab 2711  cvv 2958   wss 3322  cpw 3801   class class class wbr 4214   wtr 4304   word 4582  con0 4583   cdm 4880  cfv 5456   cdom 7109   csdm 7110  ccrd 7824 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-ac2 8345 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-suc 4589  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-riota 6551  df-recs 6635  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-card 7828  df-ac 7999
 Copyright terms: Public domain W3C validator