Theorem onelon 2972

Description: An element of an ordinal number is an ordinal number. Theorem 2.2(iii) of [BellMachover] p. 469.

Assertion

Ref	Expression
onelon	|- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem onelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelon 2971	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)
2		eloni 2958	. 2 |- (A e. On -> Ord A)
3	1, 2	sylan 448	1 |- ((A e. On /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   e. wcel 958  Ord word 2947  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  onminex 3020  unon 3088  onel 3098  dfom2 3133  tfindsg2 3163  tz7.48-2 3957  tz7.49 3959  oalim 4167  omlim 4168  oelim 4169  oaordi 4180  oalimcl 4194  oaass 4195  omordi 4197  omlimcl 4209  odi 4210  omass 4211  oewordri 4219  oeordsuc 4221  r1ord 4655  r1val1 4658  r1val3 4679  r1pwcl 4687  zorn2lem5 4792  zorn2lem6 4793  iscard 4853  ondomon 4856  cardmin 4860  alephordi 4874  alephord2i 4877  alephle 4884  cardaleph 4885  alephval2 4902  cfub 4908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain