MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfin2 Structured version   Unicode version

Theorem onfin2 7290
Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
onfin2  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )

Proof of Theorem onfin2
StepHypRef Expression
1 nnon 4843 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
2 onfin 7289 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  e.  om ) )
32biimprcd 217 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  Fin ) )
41, 3jcai 523 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  /\  x  e.  Fin )
)
52biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  om )
64, 5impbii 181 . . 3  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
7 elin 3522 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
86, 7bitr4i 244 . 2  |-  ( x  e.  om  <->  x  e.  ( On  i^i  Fin )
)
98eqriv 2432 1  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    i^i cin 3311   Oncon0 4573   omcom 4837   Fincfn 7101
This theorem is referenced by:  nnfi  7291  cantnfcl  7614  ackbij1lem9  8100  ackbij1lem10  8101  ackbij1b  8111  sdom2en01  8174  fin23lem26  8197  fin56  8265  fin1a2lem9  8280  fzfi  11303  fz1isolem  11702  ackbijnn  12599  hauspwdom  17556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105
  Copyright terms: Public domain W3C validator