MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  onfin2 Unicode version

Theorem onfin2 7234
Description: A set is a natural number iff it is a finite ordinal. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
onfin2  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )

Proof of Theorem onfin2
StepHypRef Expression
1 nnon 4791 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  x  e.  On )
2 onfin 7233 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  e.  Fin  <->  x  e.  om ) )
32biimprcd 217 . . . . 5  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  ->  x  e.  Fin ) )
41, 3jcai 523 . . . 4  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  On  /\  x  e.  Fin )
)
52biimpa 471 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  x  e.  Fin )  ->  x  e.  om )
64, 5impbii 181 . . 3  |-  ( x  e.  om  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
7 elin 3473 . . 3  |-  ( x  e.  ( On  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  On  /\  x  e. 
Fin ) )
86, 7bitr4i 244 . 2  |-  ( x  e.  om  <->  x  e.  ( On  i^i  Fin )
)
98eqriv 2384 1  |-  om  =  ( On  i^i  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    i^i cin 3262   Oncon0 4522   omcom 4785   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  nnfi  7235  cantnfcl  7555  ackbij1lem9  8041  ackbij1lem10  8042  ackbij1b  8052  sdom2en01  8115  fin23lem26  8138  fin56  8206  fin1a2lem9  8221  fzfi  11238  fz1isolem  11637  ackbijnn  12534  hauspwdom  17485
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049
  Copyright terms: Public domain W3C validator