Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oninhaus Structured version   Unicode version

Theorem oninhaus 26192
Description: The ordinal Hausdorff spaces are  1o and  2o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
oninhaus  |-  ( On 
i^i  Haus )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem oninhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 17408 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Fre )
21ssriv 3344 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
3 sslin 3559 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
5 onint1 26191 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
64, 5sseqtri 3372 . 2  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  { 1o ,  2o }
7 ssoninhaus 26190 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
86, 7eqssi 3356 1  |-  ( On 
i^i  Haus )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652    i^i cin 3311    C_ wss 3312   {cpr 3807   Oncon0 4573   1oc1o 6709   2oc2o 6710   Frect1 17363   Hauscha 17364
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-suc 4579  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-1o 6716  df-2o 6717  df-topgen 13659  df-top 16955  df-topon 16958  df-cld 17075  df-t1 17370  df-haus 17371
  Copyright terms: Public domain W3C validator