Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oninhaus Unicode version

Theorem oninhaus 25914
Description: The ordinal Hausdorff spaces are  1o and  2o. (Contributed by Chen-Pang He, 10-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
oninhaus  |-  ( On 
i^i  Haus )  =  { 1o ,  2o }

Proof of Theorem oninhaus
StepHypRef Expression
1 haust1 17338 . . . . 5  |-  ( x  e.  Haus  ->  x  e. 
Fre )
21ssriv 3295 . . . 4  |-  Haus  C_  Fre
3 sslin 3510 . . . 4  |-  ( Haus  C_  Fre  ->  ( On  i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre ) )
42, 3ax-mp 8 . . 3  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  ( On  i^i  Fre )
5 onint1 25913 . . 3  |-  ( On 
i^i  Fre )  =  { 1o ,  2o }
64, 5sseqtri 3323 . 2  |-  ( On 
i^i  Haus )  C_  { 1o ,  2o }
7 ssoninhaus 25912 . 2  |-  { 1o ,  2o }  C_  ( On  i^i  Haus )
86, 7eqssi 3307 1  |-  ( On 
i^i  Haus )  =  { 1o ,  2o }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1649    i^i cin 3262    C_ wss 3263   {cpr 3758   Oncon0 4522   1oc1o 6653   2oc2o 6654   Frect1 17293   Hauscha 17294
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-suc 4528  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-fv 5402  df-1o 6660  df-2o 6661  df-topgen 13594  df-top 16886  df-topon 16889  df-cld 17006  df-t1 17300  df-haus 17301
  Copyright terms: Public domain W3C validator