Theorem onint0 3007

Description: The intersection of a class of ordinal numbers is zero iff the class contains zero.

Assertion

Ref	Expression
onint0	|- (A (_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Proof of Theorem onint0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onint 3006	. . . . 5 |- ((A (_ On /\ A =/= (/)) -> |^|A e. A)
2		0ex 2711	. . . . . . 7 |- (/) e. V
3		eleq1 1534	. . . . . . 7 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. V <-> (/) e. V))
4	2, 3	mpbiri 194	. . . . . 6 |- (|^|A = (/) -> |^|A e. V)
5		intex 2729	. . . . . 6 |- (A =/= (/) <-> |^|A e. V)
6	4, 5	sylibr 200	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> A =/= (/))
7	1, 6	sylan2 451	. . . 4 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> |^|A e. A)
8		eleq1 1534	. . . . 5 |- (|^|A = (/) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
9	8	adantl 388	. . . 4 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> (|^|A e. A <-> (/) e. A))
10	7, 9	mpbid 195	. . 3 |- ((A (_ On /\ |^|A = (/)) -> (/) e. A)
11	10	ex 373	. 2 |- (A (_ On -> (|^|A = (/) -> (/) e. A))
12		int0el 2561	. 2 |- ((/) e. A -> |^|A = (/))
13	11, 12	impbid1 517	1 |- (A (_ On -> (|^|A = (/) <-> (/) e. A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   =/= wne 1585  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  |^|cint 2533  Oncon0 2948

This theorem is referenced by:  rankeq0 4696  cfeq0 4914

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952

Copyright terms: Public domain